Holomorphic motions, dimension and quasiconformal mappings

We describe the variation of the Minkowski, packing and Hausdorff dimensions of a set moving under a holomorphic motion. Our method provides a new, unified approach to various celebrated theorems about quasiconformal mappings, including the work of Astala on the distortion of dimension under quasiconformal mappings and the work of Smirnov on the dimension of quasicircles.Comment: 28 page

Mouvements holomorphes, fonctions inf-harmoniques et dimension de Hausdorff

L'attracteur de certains systèmes de fonctions itérées de similitudes dépendant de façon holomorphe d'un paramètre ainsi que l'ensemble de Julia de certaines familles holomorphes de polynômes hyperboliques sont mouvements holomorphes pour lesquels il a été montré que la réciproque de la dimension de Hausdorff peut s'écrire comme l'infimum d'une famille de fonctions harmoniques positives. Ces résultats motivent l'énonciation d'une conjecture concernant la variation de la dimension d'un mouvement holomorphe quelconque. Ce mémoire a pour objectif d'introduire les fonctions inf-harmoniques, d'étudier la littérature qui établit un lien entre ces dernières et les mouvements holomorphes et de dresser une piste de réponse à la conjecture