Motion modes of the nonlinear mechanical system of the rotor autobalancer

The paper analyzes the possible motion modes of an unbalanced rotor with an auto-balancing device. It is shown that for given parameters of the system, there are several qualitatively different stable motion modes. Previously unknown types of motion modes are detected. It is found that for a given supercritical working rotor speed, the system can have at least three possible stable motion modes depending on the initial conditions of its motion. A qualitative analysis of the stability ranges of all possible motion modes of the system was performed

Пошук двочастотних режимів руху двомасної вібромашини з віброзбудником у вигляді пасивного автобалансира

We analytically investigated dynamics of the vibratory machine with rectilinear translational motion of platforms and a vibration exciter in the form of a ball, a roller, or a pendulum auto-balancer.The existence of steady-state motion modes of the vibratory machine was established, which are close to the dual-frequency regimes. Under these motions, loads in the auto-balancer create constant imbalance, cannot catch up with the rotor, and get stuck at a certain frequency. In this way, loads serve as the first vibration exciter, inducing vibrations with the frequency at which loads get stuck. The second vibration exciter is formed by the unbalanced mass on the casing of the auto-balancer. The mass rotates at rotor speed and excites faster vibrations of this frequency. The auto-balancer excites almost perfect dual-frequency vibrations. Deviations from the dual-frequency law are proportional to the ratio of loads’ mass to the mass of the entire machine, and do not exceed 2 %.A dual-frequency vibratory machine has two oscillation eigenfrequencies. Loads can get stuck only at speeds close to the eigenfrequencies of vibratory machine's oscillations, or to the rotor rotation frequency.The vibratory machine has always one, and only one, frequency at which loads get stuck, which is slightly lower than the rotor speed.At low rotor speeds, there is only one frequency at which loads get stuck.In the case of small viscous resistance forces in the supports, at an increase in the rotor speed, the quantity of frequencies at which loads get stuck in a vibratory machine increases, first, to 3, then to 5. In this case, new frequencies at which loads get stuck:– occur in pairs in the vicinity of each eigenfrequency of the vibratory machine's oscillations;– one of the frequencies is slightly lower, while the other is slightly higher, than the eigenfrequency of vibratory machine's oscillations.Arbitrary viscous resistance forces in the supports may interfere with the emergence of new frequencies at which loads get stuck. That is why, in the most general case, the quantity of such frequencies can be 1, 3, or 5, depending on the rotor speed and the magnitudes of viscous resistance forces in supports.Аналитически найдены двухчастотные режимы движения двухмассной вибромашины с прямолинейным поступательным движением платформ и вибровозбудителем в виде шарового, роликового или маятникового автобалансира. С применением метода малого параметра найдены законы двухчастотных вибраций платформ и получено уравнение для поиска частот застревания грузов в автобалансире. Оценены величины составляющих, не учтенных в законах двухчастотных вибрацийАналітично знайдені двочастотні режими руху двомасной вібромашини з прямолінійним поступальним рухом платформ і віброзбудником у вигляді кульового, роликового або маятникового автобалансира. Із застосуванням методу малого параметра знайдені закони двочастотних вібрацій платформ і отримано рівняння для пошуку частот застрявання вантажів в автобалансирі. Оцінені величини складових, не врахованих в законах двочастотних вібраці

Визначення енергоефективності резонансної одномасової вібромашини, що працює на ефекті Зомерфельда

This paper reports determining the energy efficiency of a vibratory machine consisting of a viscoelastically fixed platform that can move vertically, and a vibration exciter whose operation is based on the Sommerfeld effect. The body of the vibration exciter rotates at a steady angular speed while there are the same loads in the form of a ball, a roller, or a pendulum inside it. The load, being moved relative to the body, is exposed to the forces of viscous resistance, which are internal within the system. It was established that under the steady oscillatory modes of a vibratory machine's movement, the loads are tightly pressed to each other, thereby forming a combined load. Energy is productively spent on platform oscillations and unproductively dissipated due to the movement of the combined load relative to the body. With an increase in the speed of the body rotation, the increasing internal forces of viscous resistance bring the speed of rotation of the combined load closer to the resonance speed, and the amplitude of platform oscillations increases. However, the combined load, in this case, increasingly lags behind the body, which increases unproductive energy loss and decreases the efficiency of the vibratory machine. A purely resonant motion mode of the vibratory machine produces the maximum amplitude of platform oscillations, the dynamic factor, the total power of viscous resistance forces. In this case, the efficiency reaches its minimum value. To obtain vigorous oscillations of the platform with a simultaneous increase in the efficiency of the vibratory machine, it is necessary to reduce the forces of viscous resistance in supports with a simultaneous increase in the internal forces of viscous resistance. An algorithm for calculating the basic dynamic characteristics of the vibratory machine's oscillatory motion has been built, based on solving the problem parametrically. The accepted parameter is the angular speed at which a combined load gets stuck. The effectiveness of the algorithm has been illustrated using a specific exampleОпределена энергоэффективность вибромашины, состоящей из упруго-вязко закрепленной платформы, движущейся вертикально и вибровозбудителя, работающего на эффекте Зомерфельда. Корпус вибровозбудителя вращается с постоянной угловой скоростью и внутри находятся одинаковые грузы в виде шара, ролика или маятника. На грузы при движении относительно корпуса действуют силы вязкого сопротивления, являющиеся внутренними в системе. Установлено, что на установившихся колебательных режимах движения вибромашины грузы плотно прижатыми друг к другу, чем образуют составной груз. Энергия продуктивно тратится на колебания платформы и непродуктивно (рассеивается) из-за движения составного груза относительно корпуса. С увеличением скорости вращения корпуса возрастающие внутренние силы вязкого сопротивления приближают скорость вращения составного груза к резонансной скорости, и амплитуда колебаний платформы увеличивается. Но составной груз при этом все больше отстает от корпуса, из-за чего возрастает непродуктивная потеря энергии и уменьшается КПД вибромашины. На чисто резонансном режиме движения вибромашины максимальны амплитуда колебаний платформы, коэффициент динамичности, суммарная мощность сил вязкого сопротивления. При этом КПД достигает минимального значения. Для получения энергичных колебаний платформы с одновременным увеличением КПД вибромашины необходимо уменьшать силы вязкого сопротивления в опорах с одновременным увеличением внутренних сил вязкого сопротивления. Построен алгоритм расчетов основных динамических характеристик колебательного движения вибромашины, основанный на параметрическом решении задачи. За параметр принимается угловая скорость застревания составного груза. Эффективность алгоритма проиллюстрирована на конкретном примереВизначено енергоефективність вібромашини, що складається із пружно-в’язко закріпленої платформи, що може рухатися вертикально і віброзбудника, що працює на ефекті Зомерфельда. Корпус віброзбудника обертається зі сталою кутовою швидкістю і всередині знаходяться однакові вантажі у вигляді кулі, ролика або маятника. На вантажі при русі відносно корпусу діють сили в’язкого опору, що є внутрішніми у системі. Встановлено, що на усталених коливальних режимах руху вібромашини вантажі щільно притиснути один до одного, чим утворюють складений вантаж. Енергія продуктивно витрачається на коливання платформи і непродуктивно (розсіюється) через рух складеного вантажу відносно корпусу. Із збільшенням швидкості обертання корпусу зростаючі внутрішні сили в’язкого опору наближають швидкість обертання складеного вантажу до резонансної швидкості і амплітуда коливань платформи збільшується. Але складений вантаж при цьому все більше відстає від корпусу, через що зростає непродуктивна втрата енергії і зменшується ККД вібромашини. На чисто резонансному режимі руху вібромашини максимальні амплітуда коливань платформи, коефіцієнт динамічності, сумарна потужність сил в’язкого опору. При цьому ККД досягає мінімального значення. Для отримання енергійних коливань платформи із одночасним збільшенням ККД вібромашини необхідно зменшувати сили в’язкого опору в опорах із одночасним збільшенням внутрішніх сил в’язкого опору. Побудований алгоритм розрахунків основних динамічних характеристик коливального руху вібромашини, що ґрунтується на параметричному розв’язанні задачі. За параметр приймається кутова швидкість застрягання складеного вантажу. Ефективність алгоритму проілюстрована на конкретному приклад

Підвищення балансувальної ємності кульвих чи роликових автобалансирів із зменшенням часу настання автобалансування

The study has revealed an influence of the parameters of corrective weights (balls and cylindrical rollers) in auto-balancers on the balancing capacity and the duration of the transition processes of auto-balancing in fast-rotating rotors.A compact analytical function has been obtained to determine the balancing capacity of an auto-balancer (for any quantity of corrective weights – balls or rollers), with a subsequent analysis thereof.It is shown that the process of approach of the auto-balancing can be accelerated if the auto-balancer contains at least three corrective weights.It has been proved that at a fixed radius of the corrective weights the highest balancing capacity of an auto-balancer is achieved when the corrective weights occupy nearly half of the racetrack.The study has revealed that it is technically incorrect to formulate a problem of finding a radius of the corrective weights that would maximize the balancing capacity of the auto-balancer. The statement implies that if it is a ball auto-balancer, the racetrack is a sphere, but if it is a roller-type balancer, the racetrack is a cylinder. This leads to a practically useless result, suggesting that the highest balancing capacity is achieved by auto-balancers with one corrective weight. Besides, with n≥5 for balls and n≥8 for rollers, there happens a false optimization, which consists in several corrective weights being “excess”. Their removal increases the balancing capacity of the auto-balancer.It is correct (from the engineering point of view) that the mathematical task is to optimize the balancing capacity of an auto-balancer. Herewith, it is taken into account that the racetrack of the auto-balancer is torus-shaped, which restricts the radius of the corrective weights from the top. It is shown that the balancing capacity of an automatic balancer can be maximized if in a fixed volume the corrective weights have the largest possible radius and occupy almost a half of the racetrack.The research on the duration of the transition processes for the smallest value has produced the following conclusions:– to accelerate the achieving auto-balancing, the corrective weights should occupy nearly half of the racetrack;– the shortest time of the auto-balancing is achieved with three balls or five cylindrical rollers.Исследовано влияние размера и количества корригирующих грузов (шаров или цилиндрических роликов) в автобалансире на его балансировочную емкость и на продолжительность протекания переходных процессов при автобалансировке роторных систем. Установлены размер и количество корригирующих грузов, при которых достигается наибольшая балансировочная емкость автобалансира и наименьшая продолжительность переходных процессовДосліджено вплив розміру та кількості корегувальних вантажів (куль або циліндричних роликів) в автобалансирі на його балансувальну ємність та на тривалість перебігу перехідних процесів при автобалансуванні роторних систем. Знайдені розміри та кількість корегувальних вантажів, при яких досягається найбільша балансувальна ємність автобалансира та найменша тривалість перехідних процесі

Дослідження особливостей балансування гнучких двоопорних роторів двома пасивними автобалансирами, розміщеними біля опор

A discrete N­mass model of a flexible double­support rotor with two passive automatic balancers of pendulum, ball or roller type was constructed. Automatic balancers are placed near supports. The system of differential equations, which describes the motion of a rotor machine, is obtained.The primary (sustained) motions of a system as the motions, in which automatic balancers eliminated displacements of a rotor in supports, were found. It is shown that on the primary motions, the total imbalances of a rotor and AB, reduced to two correction planes (supports), equal zero.It was proposed to examine the stability (of the family) of sustained motions by generalized coordinates, which set the displacement of a rotor in the supports and by dynamic variables that equal total imbalances of a rotor and AB in two correction planes. We obtained differential equations, which describe the change in these variables that describe the process of self­balancing.By the analysis of differential equations of the motion of a system it was established that:– on the primary motions, AB eliminate rotor deflections and vibrations in elastic viscous supports, but do not remove shaft deflections in non­supporting points;– on the primary motions elastic viscous supports are conditionally converted into hinge supports;– shaft deflections in non­supporting points and the primary motions change with the change in angular speed of rotation of the rotor;– primary motions exist at a certain distance of the speed of rotation of the rotor from the critical speeds of flexible rotor rotation with the hinge supports instead of elastic viscous supports;– at the speeds of rotation of a rotor shaft close to any of these speeds, the conditions of existence of the primary motions are disrupted because shaft deflections theoretically grow to infinity and the balancing capacity of AB is not sufficient for the compensation for the imbalances of the rotor;– in practice these deflections are limited and, therefore, proper selection of the balancing capacity of AB can ensure existence of primary motions at all speeds of rotation of rotor.Построена дискретная многомассовая модель гибкого ротора на двух податливых опорах с двумя пассивными автобалансирами, расположенными возле опор. Получены две системы дифференциальных уравнений, описывающие, соответственно, движение роторной машины в целом и процесс автобалансировки. Найдены основные установившиеся движения (на которых автобалансиры устраняют прогибы ротора в опорах), установлены условия их существованияПобудована дискретна багатомасова модель гнучкого ротора на двох податливих опорах з двома пасивними автобалансирами, розташованими біля опор. Отримані дві системи диференціальних рівнянь, що, відповідно, описують рух роторної машини в цілому і процес автобалансування. Знайдені основні усталені рухи (на яких автобалансири усувають переміщення ротора в опорах), встановлені умови їх існуванн

On the issue of the motion of balls in a double pendulum

The paper considers a model of a vertical double pendulum with one suspension centre moving in a vertical plane. For the proposed system of pendulums, differential equations of motion and conditions for the collision of balls are obtained. When modelling the movement of pendulums, the central impact of the balls was considered for various variants of the movement of the suspension point: the suspension point oscillates in the vertical direction; the suspension point makes rotational movements in the vertical plane. In this case, various conditions of the central impact between the balls were considered: absolutely inelastic impact; absolutely elastic impact; impact with the transformation of impact energy (elastic impact). Comparison of the results of the numerical simulation and the results of experiments with the Kapitza pendulum in published sources confirmed the possibility of modelling an elastic impact between balls in a double pendulum and between balls in an autobalancer with a horizontal axis of rotation of the rotor

Виділення та дослідження стійкості усталених режимів руху одномасової резонансної вібромашини, що працює на ефекті Зомерфельда

This paper has defined and investigated for stability the steady state modes of motion of a single-mass resonant vibratory machine. The vibratory machine has a platform that is supported by viscoelastic supports. The platform moves rectilinearly translationally. A vibration exciter is installed on the platform. The vibration exciter consists of N identical loads – balls, rollers, or pendulums. The center of mass of each load can move in a circle of a certain radius with a center on the longitudinal axis of the rotor. Each load, when moving relative to the body of the vibration exciter, is exposed to a viscous resistance force. It was established theoretically that with small forces of viscous resistance and any number of loads, the vibratory machine has jamming modes under which the loads that are collected form a conditional combined load and lag behind the rotor. In this case, there are two bifurcation speeds of the rotor. At speeds less than the first bifurcation speed, the vibratory machine has one single (first) jamming mode. When the first bifurcation speed is exceeded, the second and third jamming modes appear. When the second bifurcation speed is exceeded, the first and second jamming modes disappear. The first jamming mode is resonant. In the cases of two or more loads, the vibratory machine also has an auto balancing mode (no vibrations), under which the loads rotate synchronously with the body of the vibration exciter and mutually balance each other. With small forces of viscous resistance, the computational experiment found that odd jamming modes are stable if they are numbered in ascending order of the frequency of load jamming. An auto-balancing mode is stable at the rotor speeds above the resonance. For the onset of a resonant mode of motion of the vibratory machine, it is enough to slowly accelerate the rotor to a speed lower than the second bifurcation speed. The results reported here are applicable in the design of resonant single-mass vibratory machines with inertial vibration exciters of the ball, roller, or pendulum type.Виділені та досліджені на стійкість усталені режими руху одномасової резонансної вібромашини. Вібромашина має платформу, яку підтримують пружно-в’язки опори. Платформа рухається прямолінійно поступально. На платформу встановлено віброзбудник. Віброзбудник складається з N однакових вантажів – куль, роликів чи маятників. Центр мас кожного вантажу може рухатися по колу певного радіуса з центром на подовжній осі ротора. На кожен вантаж при русі відносно корпусу віброзбудника діє сила в'язкого опору. Теоретично встановлено, що при малих силах в’язкого опору і будь-який кількості вантажів у вібромашини існують режими застрягання, на яких вантажі зібрані разом, утворюють умовний складений вантаж і відстають від ротора. При цьому існують дві біфуркаційні швидкості обертання ротора. На швидкостях, менших за першу біфуркаційну швидкість, у вібромашини існує один єдиний (перший) режим застрягання. При переході першої біфуркаційної швидкості з’являються другий і третій режими застрягання. При переході другої біфуркаційної швидкості зникають перший і другий режими застрягання. Резонансним є перший режим застрягання. У випадках двох і більше вантажів у вібромашини також існує автобалансувальний режим (відсутності коливань), на якому вантажі обертаються синхронно з корпусом віброзбудника і взаємно зрівноважують один одного. При малих силах в’язкого опору обчислювальним експериментом встановлено, що стійкими є непарні режими застрягання, якщо їх пронумеровати у порядку зростання частоти застрягання вантажів. Автобалансувальний режим є стійким на зарезонансних швидкостях обертання ротора. Для настання резонансного режиму руху вібромашини достатньо повільно розганяти ротор до швидкості, меншої другої біфуркаційної. Одержані результати застосовні при проектування резонансних одномасових вібромашин з інерційними віброзбудниками кульового, роликового чи маятникового тип

Дослідження режимів застрягання вантажів в рамках плоскої моделі ротора з автобалансиром

This paper reports the analytically investigated load jam modes (balls, rollers, pendulums) within a flat model of the balanced rotor on isotropic elastic-viscous supports carrying the auto-balancer with many identical loads.A physical-mathematical model of the rotor-auto-balancer system is described. The differential equations have been recorded for the system motion with respect to the coordinate system that rotates at constant speed. We have found all the steady modes of motion under which loads get stuck at a constant speed of rotation. In the coordinate system that rotates synchronously with loads, these movements are stationary.Our theoretical study has demonstrated that the load jam modes in the rotor-auto-balancer system are the single-parametric families of steady movements.Each jam mode is characterized by a certain load configuration and the appropriate frequency of jams.In the coordinate system that synchronously rotates with loads:– the rotor displacement is constant;– the parameter is the angle defining the direction of the rotor displacement vector;– loads take certain fixed positions relative to the rotor displacement vector; these positions depend on the rotor rotation speed.The auto-balancer with nb identical loads of different configurations has nb+1 loads. The total number of different types of load jam modes:– 2(nb+1), if nb is odd;– 2nb+1, if nb is even.The total number of different jam frequencies:– 3(nb+1)/2, if nb is odd;– 3nb/2+1, if nb is even.The total number of different characteristic speeds is nb+2. The characteristic speeds are the points of movement bifurcations because their transitions give rise to the emergence or disappearance of single-parametric families of movements that correspond to a certain jam mode. At these points, jam modes can acquire or lose stability.Аналитически исследованы режимы застревания грузов (шаров, роликов, маятников) в рамках плоской модели уравновешенного ротора на изотропных упруго-вязких опорах, несущего автобалансир с многими одинаковыми грузами.Описана физико-математическая модель системы ротор-автобалансир. Записаны дифференциальные уравнения движения системы относительно системы координат, вращающейся с постоянной скоростью вращения. Найдены все установившиеся режимы движения, в которых грузы застревают на постоянной скорости вращения. В системе координат, синхронно вращающихся с грузами, эти движения стационарны.Проведенные теоретические исследования показывают, что режимы застревания грузов в системе ротор-автобалансир являются однопараметрическими семьями установившихся движений.Каждый режим застревания характеризуется определенной конфигурацией грузов и соответствующей частотой застревания.В системе координат синхронно вращающейся с грузами:– перемещение ротора является постоянным;– параметром является угол, определяющий направление вектора перемещения ротора;– грузы занимают определенные фиксированные положения относительно вектора перемещения ротора и эти положения зависят от скорости вращения ротора.В автобалансире с nb одинаковыми грузами различных конфигураций грузов nb+1. Общее количество различных режимов застревания грузов:– 2(nb+1), если nb нечетное;– 2nb+1, если nb четное.Общее количество различных частот застревания:– 3(nb+1)/2, если nb нечетное;– 3nb/2+1, если nb четное.Общее количество различных характерных скоростей – nb+2.Характерные скорости являются точками бифуркаций движений, так как при их переходе зарождаются или исчезают однопараметрические семьи движений, соответствующие определенному режиму застревания. В этих точках режимы застревания могут приобретать или терять устойчивостьАналітично досліджені режими застрягання вантажів (куль, роликів, маятників) в рамках плоскої моделі врівноваженого ротора на ізотропних пружно-в'язких опорах, що несе автобалансир з багатьма однаковими вантажами.Описана фізико-математична модель системи ротор-автобалансир. Записані диференціальні рівняння руху системи щодо системи координат, що обертається з постійною швидкістю обертання. Знайдено всі усталені режими руху, в яких вантажі застряють на постійній швидкості обертання. В системі координат, що синхронно обертається з вантажами, ці рухи стаціонарні.Проведені теоретичні дослідження показують, що режими застрягання вантажів в системі ротор-автобалансир є однопараметричними сім’ями усталених рухів.Кожен режим застрягання характеризується певною конфігурацією вантажів і відповідною частотою застрягання.В системі координат що синхронно обертається з вантажами:– переміщення ротора є сталим;– параметром є кут, що визначає напрямок вектора переміщення ротора;– вантажі займають певні фіксовані положення відносно вектора переміщення ротора і ці положення залежать від швидкості обертання ротора.У автобалансира з nb однаковими вантажами різних конфігурацій вантажів nb+1. Загальна кількість різних режимів застрягання вантажів:– 2(nb+1), якщо nb непарне;– 2nb+1, якщо nb парне.Загальна кількість різних частот застрягання:– 3(nb+1)/2, якщо nb непарне;– 3nb/2+1, якщо nb парне.Загальна кількість різних характерних швидкостей – nb+2. Характерні швидкості є точками біфуркацій рухів, бо при їх переході зароджуються чи зникають однопараметричні сім’ї рухів, що відповідають певному режиму застрягання. В цих точках режими застрягання можуть набувати, або втрачати стійкіст

Динаміка резонансної одномасової вібромашини з віброзбудником спрямованої дії, працюючому на ефекті Зомерфельда

This paper reports a study into the dynamics of a vibratory machine composed of a viscoelastically-fixed platform that can move vertically and two identical inertial vibration exciters. The vibration exciters' bodies rotate at the same angular velocities in opposite directions. The bodies host a single load in the form of a ball, roller, or pendulum. The loads' centers of mass can move relative to the bodies in a circle with a center on the axis of rotation. The loads' relative movements are hindered by the forces of viscous resistance. It was established that a vibratory machine theoretically possesses the following: – one to three oscillatory modes of movement under which loads get stuck at almost constant angular velocity and generate total unbalanced mass in the vertical direction only; – a no-oscillation mode under which loads rotate synchronously with the bodies and generate total unbalanced mass in the horizontal direction only. At the same time, only one oscillatory mode is resonant and exists at the above-the-resonance speeds of body rotation, lower than some characteristic speed. At the bodies' rotation speeds: ‒ pre-resonant; there is a globally asymptotically stable (the only existing) mode of load jams; ‒ above-the-resonance, lower than the characteristic velocity; there are locally asymptotically stable regimes ‒ both the resonance mode of movement of a vibratory machine and a no-oscillations mode; ‒ exceeding the characteristic velocity: there is a globally asymptotically stable no-oscillations mode. Computational experiments have confirmed the results of theoretical research. At the same time, it was additionally established that it would suffice, to enter a resonant mode of movement, to slowly accelerate the bodies of vibration exciters to the above-the-resonance speed, less than the characteristic speed. The results reported here could be interesting both for the theory and practice of designing new vibratory machinesИсследована динамика вибромашины, состоящий из упруго-вязко закрепленной платформы, двигающейся вертикально и двух одинаковых инерционных вибровозбудителей. Корпуса вибровозбудителей вращаются с одинаковыми угловыми скоростями в противоположных направлениях. Внутри корпусов находятся по одному грузу в виде шара, ролика или маятника. Центры масс грузов могут двигаться относительно корпусов по окружностям с центром на оси вращения. Относительным движениям грузов препятствуют силы вязкого сопротивления. Установлено, что у вибромашины теоретически существуют: – от одного до трех колебательных режимов движения, на которых грузы застревают на почти постоянной угловой скорости и создают суммарный дебаланс только в вертикальном направлении; – режим отсутствия колебаний, на котором грузы вращаются синхронно с корпусами и создают суммарный дебаланс только в горизонтальном направлении. При этом только один колебательный режим является резонансным и существует на зарезонансных скоростях вращении корпусов, меньших некоторой характерной скорости. На скоростях вращения корпусов: – дорезонансных, глобально асимптотически устойчив (единственный существующий) режим застревания грузов; – зарезонансных, меньших характерной скорости, локально асимптотически устойчивы как резонансный режим движения вибромашины, так и режим отсутствия колебаний; – больших характерной скорости, глобально асимптотически устойчив режим отсутствия колебаний. Вычислительными экспериментами подтверждены результаты теоретических исследований. При этом дополнительно установлено, что для наступления резонансного режима движения достаточно медленно разогнать корпуса вибровозбудителей до зарезонансной скорости, меньшей характерной. Полученные результаты интересны как для теории, так и для практики при проектировании новых вибромашинДосліджена динаміка вібромашини, що складається із пружно-в’язко закріпленої платформи, що може рухатися вертикально і двох однакових інерційних віброзбудників. Корпуси віброзбудників обертаються з однаковими кутовими швидкостями у протилежних напрямках. Всередині корпусів знаходяться по одному вантажу у вигляді кулі, ролика або маятника. Центри мас вантажів можуть рухатися відносно корпусів по колу з центром на осі обертання. Відносним рухам вантажів перешкоджають сили в’язкого опору. Встановлено, що у вібромашини теоретично існують: – від одного до трьох коливальних режимів руху, на яких вантажі застряють на майже сталій кутовій швидкості і створюють сумарний дебаланс тільки у вертикальному напрямку; – режим відсутності коливань, на якому вантажі обертаються синхронно з корпусами і створюють сумарний дебаланс тільки у горизонтальному напрямку. При цьому тільки один коливальний режим є резонансним і існує на зарезонансних швидкостях обертання корпусів, менших деякої характерної швидкості. На швидкостях обертання корпусів: ‑ дорезонансних, глобально асимптотично стійкий (єдиний існуючий) режим застрягання вантажів; ‑ зарезонансних, менших характерної швидкості, локально асимптотично стійкі як резонансний режим руху вібромашини, так і режим відсутності коливань; ‑ більших характерної швидкості, глобально асимптотично стійкий режим відсутності коливань. Обчислювальними експериментами підтверджені результати теоретичних досліджень. При цьому додатково встановлено, що для настання резонансного режиму руху достатньо повільно розігнати корпуси віброзбудників до зарезонансній швидкості, меншій характерної. Отримані результати цікаві як для теорії, так і для практики при проектуванні нових вібромаши

Modelling of transient and steady-state modes of a vertical rotor with an automatic balancing device

The authors of the study work out the differential equations of motion of a vertical rotor model on an elastic-dissipative suspension, balanced by a ball-type automatic balancing device. Often, the cross-section of the cavity of the body of the automatic balancing device is rectangular and during rolling the balls have two points of contact, in one of which the balls slide along the surface of the cavity. To prevent the balls from sliding, the inner surface of the cavity of the automatic balancing device is made in the shape of a torus, which provides one point of contact. The forces of gravity and the forces of resistance to the movement of the correcting weights are taken into account, and the model is drawn up for both viscous and dry friction forces inside the body of the automatic balancing device. The obtained mathematical model of the rotor makes it possible to study the transient and steady-state modes of motion of the rotor system