Complex LpL_p-Intersection Bodies

Interpolating between the classic notions of intersection and polar centroid bodies, (real) $L_p$-intersection bodies, for $-1<p<1$, play an important role in the dual $L_p$-Brunn--Minkowski theory. Inspired by the recent construction of complex centroid bodies, a complex version of $L_p$-intersection bodies, with range extended to $p>-2$, is introduced, interpolating between complex intersection and polar complex centroid bodies. It is shown that the complex $L_p$-intersection body of an $\mathbb{S}^1$-invariant convex body is pseudo-convex, if $-2<p<-1$ and convex, if $p\geq-1$. Moreover, intersection inequalities of Busemann--Petty type in the sense of Adamczak--Paouris--Pivovarov--Simanjuntak are deduced.Comment: 32 page

Faltung von Bewertungen auf Mannigfaltigkeiten

Abweichender Titel nach Übersetzung der Verfasserin/des VerfassersEin wesentliches Ziel der Integralgeometrie ist das Aufstellen von kinematischen Formeln. Durch den Fundamentalsatz der algebraischen Integralgeometrie wird ein Zusammenhang zwischen algebraischen Strukturen - Produkt und Faltung- auf Vektorräumen von Bewertungen auf konvexen Körpern und kinematischen Formeln gegeben. Um diesen Sachverhalt zu verallgemeinern, wird in dieser Arbeit einerseits der Begriff von Bewertungen auf Mannigfaltigkeiten erklärt, andererseits, wird die Faltung von (verallgemeinerten) Bewertungen auf Mannigfaltigkeiten behandelt.Kinematic formulas are main objects of interest in integral geometry. The strong connection between algebraic operations on spaces of valuations on convex bodies and kinematic formulas is stated in the Fundamental theorem of Algebraic Integral Geometry. In order to obtain similar statements for valuations on manifolds, this thesis gives an introduction to the convolution of (generalized) valuations.6