Non-minimality of corners in subriemannian geometry

We give a short solution to one of the main open problems in subriemannian geometry. Namely, we prove that length minimizers do not have corner-type singularities. With this result we solve Problem II of Agrachev's list, and provide the first general result toward the 30-year-old open problem of regularity of subriemannian geodesics.Comment: 11 pages, final versio

Analyyttinen jatke ja Riemannin pinnat

Tämän tutkielman tavoitteena on esittää, miten analyyttisen funktion määrittelyjoukko laajennetaan Riemannin pinnaksi, joka sisältää informaation kaikista funktion analyyttisistä jatkeista kompleksitasossa. Tätä Riemannin pintaa sanotaan kyseisen analyyttisen funktion Riemannin pinnaksi. Konstruktiota varten täytyy ensin tarkastella analyyttisen jatkeen käyttäytymistä kompleksitasossa, Riemannin pintojen ja kompleksitason välistä yhteyttä sekä perusryhmän ja peitteiden käyttäytymistä Riemannin pintojen kontekstissa. Erityisesti tarkastellaan miten useat kompleksianalyysin perustulokset yleistyvät suoraan Riemannin pinnoille ja Riemannin pintojen analyyttisille funktioille sekä sitä, milloin Riemannin pinnan lokaali homeomorfismi on peite. Tärkeimpiä tarkasteltavia funktioita tutkielmassa ovat juurifunktiot ja logaritmi. Osoittautuu, että näiden funktioiden analyyttisen jatkeen käyttäytyminen punkteeratussa kiekossa karakterisoi kaikkien punkteeratussa kiekossa vapaasti jatkettavien analyyttisten funktioiden käyttäytymisen. Erityisesti juurifunktion käyttäytymisen tunteminen antaa tavan käsitellä analyyttisen funktion Riemannin pinnan muodostamiseen tarvittavia haarautumispisteitä. Lisäksi tarkastellaan algebrallisten funktioiden analyyttisen jatkeen käyttäytymistä ja sitä, miten algebrallisen funktion Riemannin pinnan konstruktiota voidaan soveltaa algebrallisten käyrien tarkasteluun

Objective reduction in multiobjective optimization

Tämän tutkielman tavoitteena on tarkastella menetelmiä, jotka pyrkivät ratkaisemaan ongelmia, jotka ilmenevät monitavoiteoptimointitehtävissä tavoitteiden määrän kasvaessa suureksi. Työssä esitellään useita menetelmiä kattaen erilaisia oletuksia optimointitehtävän luonteelta, kuten esimerkiksi lineaaristen tai konveksien tehtävien tapaukset. Lisäksi kommentoidaan menetelmien vahvuuksia ja heikkouksia. Yksi menetelmistä otetaan käytännönläheisempään tarkasteluun toteuttamalla siihen liittyvä abstrakti algoritmi Python-koodina ja tarkastelemalla algoritmin käyttäytymistä esimerkkien avulla. Lisäksi esitetään muutamia tapoja luokitella monitavoiteoptimointitehtävien tavoitteiden vähentämisen menetelmiä.The aim of this thesis is to study methods that have been created to avoid some of the problems related to solving multiobjective optimization problems with a large number of objectives. Multiple methods are presented covering various assumptions on the optimization problem, such as linearity or convexity, and the strengths and weaknesses of the methods are discussed. One of the methods is looked at in a more practical fashion, by presenting a Python code implementation of the abstract algorithm of the method in question and studying its behavior for some examples. Additionally, some criteria for classifying methods of objective reduction in multiobjective optimization are defined

Cut time in the sub-Riemannian problem on the Cartan group

We study the sub-Riemannian structure determined by a left-invariant distribution of rank 2 on a step 3 Carnot group of dimension 5. We prove the conjectured cut times of Yu. Sachkov for the sub-Riemannian Cartan problem. Along the proof, we obtain a comparison with the known cut times in the sub-Riemannian Engel group, and a sufficient (generic) condition for the uniqueness of the length minimizer between two points. Hence we reduce the optimal synthesis to solving a certain system of equations in elliptic functions

Cut time in the sub-Riemannian problem on the Cartan group

We study the sub-Riemannian structure determined by a left-invariant distribution of rank 2 on a step 3 Carnot group of dimension 5. We prove the conjectured cut times of Yu. Sachkov for the sub-Riemannian Cartan problem. Along the proof, we obtain a comparison with the known cut times in the sub-Riemannian Engel group, and a sufficient (generic) condition for the uniqueness of the length minimizer between two points. Hence we reduce the optimal synthesis to solving a certain system of equations in elliptic functions

Gradings for nilpotent Lie algebras

We present a constructive approach to torsion-free gradings of Lie algebras. Our main result is the computation of a maximal grading. Given a Lie algebra, using its maximal grading we enumerate all of its torsion-free gradings as well as its positive gradings. As applications, we classify gradings in low dimension, we consider the enumeration of Heintze groups, and we give methods to find bounds for non-vanishing $\ell^{q,p}$ cohomology.Comment: 35 pages, minor presentation improvement