Solving animal model equations through an approximate incomplete Cholesky decomposition

A general strategy is described for the design of more efficient algorithms to solve the large linear systems Bs = r arising in (individual) animal model evaluations. This strategy, like Gauss-Seidel iteration, belongs to the family of "splitting methods" based on the decomposition B = B* + (B - B*), but, in contrast to other methods, it tries to take maximum advantage of the known sparsity structure of the mixed model coefficient matrix: B* is chosen to be an approximate incomplete Cholesky factor of B. The resulting procedure requires the solution of 2 triangular systems at each iteration and 2 readings of the data and pedigree file. This approach was applied to an animal model evaluation on 15 type traits and milking ease score from the French Holstein Association with 955 288 animals and 4 fixed effects, including group effect for animals with unknown parents. Its convergence was compared with a standard iterative procedure.Une stratégie générale est décrite pour l’obtention d’algorithmes plus efficaces dans le but de résoudre les grands systèmes linéaires Bs = r, caractéristiques des évaluations de type «modèle animal». Cette stratégie, comme l’itération de Gauss-Seidel, appartient à la famille des « méthodes d’éclatement» basées sur la décomposition B = B*+(B-B*) mais contrairement aux autres méthodes, elle tente de mettre à profit autant que possible la structure creuse (connue) de la matrice des coefficients des équations du modèle mixte: B* est prise égale à une approximation de la décomposition de Cholesky incomplète de B. La procédure résultante nécessite la résolution de 2 systèmes triangulaires à chaque itération et 2 lectures du fichier de données et de généalogie. Cette approche a été appliquée à une évaluation de type « modèle animal», sur 15 caractères de morphologie et une note de facilité de traite provenant de l’Unité pour la Promotion de la race Prim’Holstein, concernant 955 288 animaux et 4 effets fixes y compris un effet groupe pour les animaux issus de parents inconnus. Sa vitesse de convergence a été comparée à une approche itérative courante

Interest in quantitative genetics of Dutt's and Deak's methods for numerical computation of multivariate normal probability integrals

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A Bayesian analysis of mixed survival models

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Computing marginal posterior densities of genetic parameters of a multiple trait animal model using Laplace approximation or Gibbs sampling

Two procedures for computing the marginal posterior density of heritabilities or genetic correlations, ie, Laplace’s method to approximate integrals and Gibbs sampling, are compared. A multiple trait animal model is considered with one random effect, no missing observations and identical models for all traits. The Laplace approximation consists in computing the marginal posterior density for different values of the parameter of interest. This approximation requires the repeated evaluation of traces and determinants, which are easy to compute once the eigenvalues of a matrix of dimension equal to the number of animals are determined. These eigenvalues can be efficiently computed by the Lanczos algorithm. The Gibbs sampler generates samples from the joint posterior density. These samples are used to estimate the marginal posterior density, which is exact up to a Monte-Carlo error. Both procedures were applied to a data set with semen production traits of 1957 Normande bulls. The traits analyzed were volume of the ejaculate, motility score and spermatozoa concentration. The Laplace approximation yielded very accurate approximations of the marginal posterior density for all parameters with much lower computing costs.Deux procédures de calcul de la densité marginale a posteriori des héritabilités et des corrélations génétiques, à savoir la méthode de Laplace pour l’approximation des intégrales et l’échantillonnage de Gibbs, sont comparées. Pour cela, nous considérons un modèle animal multicaractère avec un effet aléatoire, sans observations manquantes et avec un modèle identique pour chaque caractère. L’approximation de Laplace conduit au calcul de la densité marginale a posteriori pour différentes valeurs du paramètre qui nous intéresse. Cela nécessite l’évaluation répétée de traces et de déterminants qui sont simples à calculer une fois que les valeurs propres d’une matrice de dimension égale au nombre d’animaux ont été déterminées. Ces valeurs propres peuvent être calculées de manière efficace à l’aide de l’algorithme de Lanczos. L’échantillonnage de Gibbs génère des échantillons de la densité conjointe a posteriori. Ces échantillons sont utilisés pour estimer la densité marginale a posteriori, qui est exacte à une erreur de Monte Carlo près. Les deux procédures ont été appliquées à un fichier de données comportant les caractères de production de semence recueillies sur 1957 taureaux Normands. Les caractères analysés étaient le volume de l’éjaculat, une note de motilité et la concentration en spermatozoïdes. L’approximation laplacienne a permis une approximation très précise de la densité marginale a posteriori de tous les paramètres avec un coût de calcul beaucoup plus réduit

Computation of all eigenvalues of matrices used in restricted maximum likelihood estimation of variance components using sparse matrix techniques

Restricted maximum likelihood (REML) estimates of variance components have desirable properties but can be very expensive computationally. Large costs result from the need for the repeated inversion of the large coefficient matrix of the mixed-model equations. This paper presents a method based on the computation of all eigenvalues using the Lanczos method, a technique reducing a large sparse symmetric matrix to a tridiagonal form. Dense matrix inversion is not required. It is accurate and not very demanding on storage requirements. The Lanczos method, the computation of eigenvalues, its application in a genetic context, and an example are presented.Les estimations du maximum de vraisemblance restreinte (REML) des composantes de variance ont des propriétés intéressantes mais peuvent être coûteuses en temps de calcul et en besoin de mémoire. Le problème vient de la nécessité d’inverser de façon répétée la matrice des coefficients des équations du modèle mixte. Cet article présente une méthode basée sur le calcul des valeurs propres et sur l’utilisation de la méthode de Lanczos, une technique permettant de réduire une matrice creuse, symétrique et de grande taille en une matrice tridiagonale. L’inversion de matrices denses n’est pas nécessaire. Cette méthode donne des résultats précis et ne demande que très peu de stockage en mémoire. La méthode de Lanczos, le calcul des valeurs propres, son application dans le contexte génétique et un exemple sont présentés

Generalizing the use of the canonical transformation for the solution of multivariate mixed model equations

The canonical transformation converts t correlated traits into t phenotypically and genetically independent traits. Its application to multiple trait BLUP genetic evaluations decreases computing requirements, increases the convergence rate of iterative solvers and simplifies programming. This paper presents alternative ways to retain, at least partly, these desirable characteristics in situations where the canonical transformation is theoretically impossible: when some traits are missing in some animals (including when a reduced animal model is used), when more than one random effect is included in the model and when different traits are described by different models.La transformation canonique remplace t caractères corrélés par t caractères génétiquement et phénotypiquement indépendants. Son application dans des évaluations génétiques de type BL UP multicaractères diminue les besoins informatiques, accroît la vitesse de convergence d’algorithmes de résolution itérative et simplifie la programmation. Cet article présente différentes manières de conserver au moins partiellement ces caractéristiques favorables dans les situations où la transformation canonique est théoriquement impossible, c’est-à-dire quand certains caractères sont manquants pour certains animaux (y compris lorsqu’un modèle animal réduit est utilisé), quand plus d’un effet aléatoire est inclus dans le modèle et quand différents caractères sont décrits par différents modèles