Sur les séries de fonctions orthogonales

Le but de cette note est de démontrer: Théorème: Si les fonctions $φ_n(x), (n=1,2,3,...)$ forment un système normé de fonctions orthogonales dans l'intervalle (a,b), c'est-à-dire si $∫_a^b [φ_n(x)]^2 dx =1, ∫_a^b φ_m(x)·φ_n(x)dx =0, n ≠ m$, si, de plus, les constantes réelles $a_n$ sont telles que $∑_{n=1}^{∞} a_n^2 (lg n)^2$ converge, la série $∑_{n=1}^{∞} a_n·φ_n(x)$ converge presque partout dans l'intervalle (a,b). Théorème: Quelle que soit la fonction positive W(n) vérifiant la condition $W(n) = o[(lg n)^2]$, il existe toujours un système normé de fonctions $φ_n(x), n=1,2,3,...$, orthogonales dans (0,1), et une suite de constantes réelles $a_n$ telles que la série $∑_{n=1}^{∞} a_n·φ _n(x)$ diverge partout dans (0,1), quoique la série $∑_{n=1}^{∞} a_n^2 W(n)$ converge

Sur les séries de fonctions orthogonales

Cet article est un suite d'une étude "Sur les séries de fonctions orthogonales" parus au tome VII des cet journal. Soit $ϕ_1(x), ϕ_2(x), ϕ_3(x), ... , ϕ_n(x) ,...$ (1) un système norme de fonctions orthogonales, et soient $a_1, a_2, a_3, ... , a_n, ...$ (2) des constantes réelles quelconques. L'auteur a démontrée dans la première parties de son ouvrage qu'il existe une série $\sum_{n=1}^{∞} a_n · ϕ_n(x)$ (3) divergente partout, tandis que la série $\sum_{n=1}^{∞}a_n^2$ (4) converge. Le but principal de cette étude est de démontrer Théorème: Un procédé de sommation linéaire étant donne, on peut définir un système norme de fonctions orthogonales $ϕ_n(x)$ et une suite de constantes $a_n$, donnant lieu à la série (3) convergente, tels que la série (4) n'est sommable en aucun point par ce procédé. Théorème: La fonction limitrophe pour le procédé de Poisson et pour celui de Cesàro d'ordre positif quelconque λ est égale à $(lg \ lgn)^2$