Modelling of eps type steering systems including freeplay and friction in steering mechanism

Electric power steering (EPS) systems are important ingredients of modern cars. Basing on mechanic (steering mechanism), electric (electric motor), electronic (controller) and mechatronic (sensors) components, they are typical servo mechanic devices, which support drivers handling action. The paper presents mathematical modelling of EPS systems treated as multi body mechanisms with power assistance, including strong non-linear phenomena caused by a friction (especially in king-pins) and a feeplay (in gear-box). Mathematical model consists of several variable structure ordinary differential equations with piecewise linear characteristics. Model non-linearities are described with using special piecewise linear luz (…) and tar(...) projections. These projections and their original mathematical apparatus facilitate synthesis and analysis of the model. The model equations are derived from constitutive equations and control rules. This method can be also applied for synthesis of other non-linear multi-body electromechanical systems. The elaborated models of EPS systems have the forms ready to use in simulation programs. Some examples of simulation studies of the open car tests due to sensitivity analysis of steering system model are also presented in the paper

Conception of piecewise linear modeling of driver - car - road system

W pracy przedstawiono koncepcje przedziałami liniowego modelowania układu dynamicznego kierowca - samochód - droga. Proponowana metoda modelowania oparta jest na specjalnych odwzorowaniach luz(...), tar(...) i związanym z tymi odwzorowaniami aparacie matematycznym. Takie podejście nie tylko istotnie ułatwia syntezę modeli opisujących działanie tarcia i luzu w mechanizmach kierowniczych (w układach ze wspomaganiem i bez, w pojazdach 2WS i 4WS), opisujących elementy progowe i ograniczenia kierowcy, ale upraszcza także procedury symulacyjne, jak również analizę osobliwych zjawisk nieliniowych (np. efekty stick-slip i opóźnienia).The paper presents a conception of piecewise linear modeling of the driver - car - road dynamical system. The method of modeling bases on special luz(...) and tar(...) projections and their mathematical apparatus. It makes easy not only synthesis (with formal simplifications) of models describing friction and freeplay actions in steering mechanisms (with or without power assistance, 2WS and 4WS vehicles), describing threshold and limiter elements of driver, but also simplify the simulation procedures, as well as some analytical studies of singular non-linear phenomena (e.g. stick-slip and time delay effects)

Przedziałami liniowe odwzorowania luz ( ... ) i tar ( ... ). Cz. 1 - Podstawy teoretyczne

The paper presents definitions and theorems for luz(...) and tar(...) piecewise linear projections. These projections and their original mathematical apparatus are very useful for modelling of nonlinear systems, eg systems with freeplay or friction.Artykuł przedstawia definicje i twierdzenia dotyczące przedziałami liniowych odwzorowan luz ( ... ) i tar ( ... ). Odwzorowania i ich oryginalny aparat matematyczny są bardzo użyteczne dla modelowania układów nieliniowych, np. układów z luzem i tarciem

Przedziałami liniowe odwzorowania luz (...) i tar (...). Cz. 2 - Zastosowanie w modelowaniu układów dynamicznych z luzem i tarciem

The paper presents the idea and examples of application of a new method to the modelling of mechanical systems with freeplay and friction. This method bases on the piecewise linear luz(...) and tar(...) projections and their original mathematical apparatus. It is very useful for synthesis of simulation models and description of the stick slip phenomenon in multi body systems.Artykuł przedstawia ideę i przykłady zastosowania nowej metody modelowania układów mechanicznych z luzem i tarciem. Metoda bazuje na przedziałami liniowych odwzorowaniach luz ( ... ) i tar ( ... ) oraz ich oryginalnym aparacie matematycznym. Metoda jest bardzo użyteczna dla syntezy modeli symulacyjnych i opisu zjawiska stick-slip w układach wielomasowych

Przedziałami liniowe modelowanie tarcia i zjawiska "stick-slip" w układach dyskretnych

The paper presents an idea and application of a new method of the modeling of mechanical systems with friction. This method is based on the piecewise linear luz(...) and tar(...) projections and their original mathematical apparatus. The presented models of systems with friction describe the stick-slip phenomenon in detail.W artykule przedstawia się ideę i zastosowanie nowej metody modelowania układów mechanicznych z tarciem. Opracowana metoda bazuje na przedziałami liniowych odwzorowaniach luz ( ... ) i tar ( ... ) oraz ich oryginalnym aparacie matematycznym. Dzięki zastosowaniu odwzorowań luz ( ... ) i tar ( ... ) modele układów z tarciem mają analityczne formy doskonale wyrażające zmiennostrukturalny opis zjawiska "stickslip". Za sprawą aparatu matematycznego luz ( ... ) i tar ( ... ) modele te mogą być przekształcane (np. redukowane) w sposób parametryczny, co stanowi główną zaletę metody

Sensitivity analysis of steering system model

The method of sensitivity analysis of mathematical model with strong non-linear characteristics is discussed in the paper. This model focuses on friction, as well as freeplay dynamics in a car steering system including stick-slip fenomena. Because of strong nonlinearities of the model, its sensitivity indexes can not be counted by classic sensitivity variation equations and classic mathematical analysis of smooth functions.  Fortunately,   nonlinear characteristics are described with using special piecewise - linear luz(...) and tar(...) projections. They have an original mathematical apparatus which secures parametrically made simplifications and enough regularity of the model (some details of analytical transformations are shown). Thanks to luz(...) and tar(...) projections the continuity of sensitivity indexes is secured but of course, the calculation of sensitivity indexes has to base on comparative simulation investigations. The paper presents example results of simulations of the steering system action (including stick-slip processes) for different values of friction as well as freeplay parameters (kinetic and static friction in king-pins, backlash in a steering gear). These simulations concern combined open road tests of a passenger car according to the ISO requirements (ISO 7401 - the ramp input on the steering wheel, then ISO 4138 - circular steady state motion, and finally the steering wheel released, all with a constant speed 80 km/h)

Modelling and numerical simulation of stick-slip phenomena with luz(…) and tar(…) projections

W artykule przedstawiono metody modelowania i symulacji procesów stick-slip w dyskretnych układach mechanicznych z tarciem. Cechą znamienną metody modelowania jest zastosowanie specjalnych przedziałami liniowych odwzorowań topologicznych luz(…) i tar(…) wraz z ich oryginalnym, dość prostym aparatem matematycznym. Tworzone modele są przejrzyste, łatwe do zastosowania w symulacyjnych programach komputerowych MBS (Multibody Systems) wykorzystujących standardowe procedury rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych.Th e paper describes a method of modelling and simulation of stick-slip phenomena in multibody mechanical system with friction. The method bases on special piecewise-linear luz(…) and tar(…) projections and their original mathematical apparatus. The models are transparent, easy to use in MBS (Multibody Systems) soft ware with standard ODE (Ordinary Differential Equations) procedures

Problemy nieokreśloności tarcia statycznego i modelowanie zjawiska stick-slip w układach dyskretnych

The paper presents a new method of modeling of the friction action in discrete dynamic systems in cases of undetermined distribution of static friction forces. This method is based on the Gauss Principle and the piecewise linear luz( ... ) and tar( ... ) projections with their original mathematical apparatus. The derived variable-structure model of a two-body system with three frictional contacts describes the stick-slip phenomenon in detail. The model has an analytical form applicable to standard (without iterations) computational procedures.W artykule przedstawia się nową metodę modelowania procesów stick-slip w dyskretnych układach dynamicznych z tarciami dopuszczającą nieokreśloność rozkładu sił tarcia statycznego. Metoda opiera się na zasadzie Gaussa oraz wykorzystaniu specjalnych przedziałami liniowych odwzorowań luz(...) i tar(...) z ich oryginalnym aparatem matematycznym. W pracy prezentowane jest szczegółowe wyprowadzenie modelu opisującego stick-slip w układzie 2 masowym z 3 miejscami tarcia. Dzięki zastosowaniu odwzorowań luz(...) i tar(...) modele układów z tarciem mają analityczne formy przystosowane do standardowych procedur symulacyjnych

Metoda analizy drgań skrętnych w układzie kierowniczym motocykla na płaszczyźnie fazowej

A vibration analysis method has been described, where time functions are represented in the “phase plane”; for free vibrations, the representations are classic phase portraits. In the case of vibrations forced with sinusoidal inputs, the representations are Lissajous figures and their stroboscopic expansions to “Poincaré maps”. For the purposes of presentation of the research method proposed, the analyses of free and forced vibrations of a system close to the motorcycle steering system have been described, with the system being modelled and simulated in the Matlab-Simulink environment and with the stick-slip processes being taken into account. The calculation results depict not only the essence of the method of analysing vibrations in the phase plane but also the impact of selected model parameters (in this case, related to freeplay and friction) and measurement disturbances on the representation results. The analysis method shown is a solution alternative to the classic spectral analyses.W pracy prezentowana jest metoda analizy drgań wykorzystująca odwzorowania przebiegów czasowych na tzw. płaszczyźnie fazowej i dla przypadku drgań swobodnych są to klasyczne portrety fazowe. W przypadku drgań wymuszonych przebiegami sinusoidalnie zmiennymi są to zobrazowania typu figury Lissajous oraz ich stroboskopowe rozwinięcia do tzw. map Poincare. W celu prezentacji proponowanej metody badawczej relacjonowane są analizy drgań swobodnych i wymuszonych dotyczące układu zbliżonego do układu kierowniczego (UK) motocykla modelowanego i symulowanego w środowisku Matlab-Simulink, z uwzględnieniem procesów stick-slip. Wyniki obliczeń obrazują nie tylko istotę metody analizy drgań na płaszczyźnie fazowej, ale także wpływ wybranych parametrów modelu (tu dotyczących luzu i tarcia), a także zakłóceń pomiarowych na wyniki zobrazowań. Prezentowana metoda analizy stanowi alternatywne rozwiązanie względem klasycznych analiz widmowych

Influence of freeplay and friction in steering system on double lane change manoeuvre - modelling and simulation studies

Modelling and simulation investigations of a car non-linear dynamics with regard to freeplay (backlash in steering gear) and friction (kinetic and static friction in king-pins) is always a challenge for researchers. Fortunately, by special luz(...) and tar(...) projections and their mathematical apparatus the elaborated models and simulation procedures of stick-slip phenomena in a steering system are managed in efficient forms (without any entangle constraints) even for optimization and sensitivity studies. Exactly, the presented studies deal with problems of sensitivity of optimized maneuvers for vehicle models considering freeplay / friction effects. Double lane change maneuvers (overtaking and avoiding) are discussed. A criterion function refers to several evaluations (precision of maneuver, calm steering, feeling of comfortable travel). The optimization of steering wheel angle signal is done on a reference model with "nominal" freeplay and friction parameters. Such input signal is applied to a "real" vehicle having "real" freeplay and friction parameters. The differences of output signals as well as differences between criterion function values are a subject of sensitivity analysis. The sensitivity of reference models on a variation of freeplay and friction parameters appears as important from theoretical as well as practical points of view. The paper takes up the problems of sensitivity analysis of steering system model applied for synthesis steering algorithms for a double lane change maneuver