Introdução aos Métodos Variacionais

This monograph presents an introduction to Variational Methods, which today form an important method that is applied in the field of differential equations. Thus, we sought to answer the following guiding question: how to solve ordinary differential equations (ode) using Variational Methods? This research has as main objective to determine necessary and sufficient conditions for certain ordinary differential equations to have a solution via Variational Methods. For this, initially, a brief review of measure and Lebesgue spaces was made to generalize the concept of Riemann’s integral; from this, the concept of the weak derivative was defined, followed by the well-known Sobolev spaces. Thus, in these spaces, what we call a weak solution of the functional associated with the given equation was established, to later solve the Edo by the Variational Methods. As for the methodology used in this work, we have exploratory and bibliographical research, and a qualitative approach. As a result of this study, we highlight the use of the Mountain Pass Theorem, which provides some functional conditions, including the Palais Smale condition, under which the functional has a critical point. Thus, Variational Methods are concerned with finding critical functional points associated with some differential equation.Esta monografia apresenta uma introdução aos Métodos Variacionais, que formam, hoje em dia, um método importante que é aplicado na área de equações diferenciais. Assim, procurou-se responder a seguinte questão norteadora: como resolver equações diferenciais ordinárias (edo) utilizando os Métodos Variacionais? Esta pesquisa tem como objetivo principal determinar condições necessárias e suficientes para que certas equações diferenciais ordinárias possuam solução via Métodos Variacionais. Para isso, inicialmente, fez-se uma breve revisão sobre medida e os espaços de Lebesgue para generalizar o conceito de integral de Riemann; a partir disso, definiram-se o conceito de derivada fraca e, em seguida, os conhecidos espaços de Sobolev. Dessa forma, nesses espaços, estabeleceu-se o que chamamos de solução fraca do funcional associado à equação dada, para, mais tarde, resolver a Edo pelos Métodos Variacionais. Quanto à metodologia utilizada nesse trabalho, temos a pesquisa exploratória e bibliográfica, e a abordagem qualitativa. Como resultados desse estudo, destaca-se a utilização do Teorema do Passo da Montanha, que fornece algumas condições no funcional, entre elas a condição de Palais Smale, sob as quais o funcional tem ponto crítico. Com isso, os Métodos Variacionais se preocupam em encontrar pontos críticos de funcionais associados à alguma equação diferencial

INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS VARIACIONAIS

Variational methods are techniques developed and applied to solve certain differential equations, finding critical points of a functional associated with such equation. The main objective of this research is to determine sufficient conditions for some ordinary differential equations (ODEs) to have solutions via variational methods. For this purpose, the concept of weak derivative was initially defined, followed by the well-known Sobolev spaces. In these spaces, the so-called weak solution of the given differential equation was established in order to later solve the ODE, that is, to find one of its possible solutions. As for the methodology used in this article, it is an exploratory and bibliographic research with a qualitative approach. The results of this study highlight the use of the Mountain Pass Theorem, which provides some conditions of the functional, including the Palais-Smale condition, under which the functional associated with the equation has a critical point. It is concluded at the end of the research that the methods in question are a powerful tool for solving certain ordinary differential equations, whose traditional methods are not sufficient to solve.Los métodos variacionales son técnicas desarrolladas y aplicadas para resolver ciertas ecuaciones diferenciales, encontrando puntos críticos de una funcional asociada a tal ecuación. El objetivo principal de esta investigación es determinar condiciones suficientes para que algunas ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) tengan soluciones mediante métodos variacionales. Para esto, inicialmente se definió el concepto de derivada débil y luego los conocidos espacios de Sobolev. En estos espacios, se estableció lo que llamamos solución débil de la ecuación diferencial dada, para más tarde resolver la EDO, es decir, encontrar una de sus posibles soluciones. En cuanto a la metodología utilizada en este artículo, es una investigación exploratoria y bibliográfica con un enfoque cualitativo. Los resultados de este estudio destacan el uso del teorema del Paso de la Montaña, que proporciona algunas condiciones de la funcional, incluida la condición de Palais-Smale, bajo la cual la funcional asociada a la ecuación tiene un punto crítico. Al final de la investigación, se concluye que los métodos en cuestión son una herramienta poderosa para resolver ciertas ecuaciones diferenciales ordinarias, cuyos métodos tradicionales no son suficientes para resolver.Os Métodos Variacionais são técnicas desenvolvidas e aplicadas para resolver certas equações diferenciais, encontrando pontos críticos de um funcional associado a tal equação. Esta pesquisa tem como objetivo principal determinar condições suficientes para que algumas equações diferenciais ordinárias (EDO) possuam solução via Métodos Variacionais. Para isso, inicialmente, foram definidos o conceito de derivada fraca e, em seguida, os conhecidos espaços de Sobolev. Nesses espaços, estabeleceu-se o que chamamos de solução fraca da equação diferencial dada, para, mais tarde, resolver a EDO, isto é, encontrar uma de suas soluções possíveis. Quanto à metodologia utilizada neste artigo, temos uma pesquisa exploratória e bibliográfica, e a abordagem qualitativa. Como resultados deste estudo, destaca-se a utilização do Teorema do Passo da Montanha, que fornece algumas condições do funcional, entre elas a condição de Palais-Smale, sob as quais o funcional associado à equação tem ponto crítico. Conclui-se, no final da pesquisa, que os métodos em questão são uma ferramenta poderosa para resolução de determinadas equações diferenciais ordinárias, cujos métodos tradicionais não são suficientes para resolver