Rational model of the configuration space of two points in a simply connected closed manifold

Let $M$ be a simply connected closed manifold of dimension $n$. We study the rational homotopy type of the configuration space of 2 points in $M$, $F(M,2)$. When $M$ is even dimensional, we prove that the rational homotopy type of $F(M,2)$ depends only on the rational homotopy type of $M$. When the dimension of $M$ is odd, for every $x\in H^{n-2} (M, \mathbb{Q})$, we construct a commutative differential graded algebra $C(x)$. We prove that for some $x \in H^{n-2} (M; \mathbb{Q})$, $C(x)$ encodes completely the rational homotopy type of $F(M,2)$. For some class of manifolds, we show that we can take $x=0$.Comment: 15 page

Modèle rationnel du complémentaire d'un sous-polyèdre dans une variété à bord et applications aux espaces des configurations

The configuration space of k points in a manifold M is F(M,k) = {(x1, ... , xk)∈ M^k |xi ≠ xj if i≠j}. In this work we studied the homotopical invariance of this construction. When k=2, we extend some known results about this invariance in the case of simply connected closed manifolds. We develop new techniques to study this spaces for manifolds with boundary. More generally, the results of this thesis allows us to study the rational homotopy type of complementary spaces in a manifold with boundary.L'espace des configurations de k points dans une variété M est l'espace F(M,k)={(x1, ... , xk)∈ M^k | xi ≠ xj si i ≠ j}. Nous étudions dans cette thèse la question de l'invariance par type d'homotopie rationnelle de cette construction. Dans le cas où k=2, nous étendons des résultats connus sur l'invariance homotopique des espaces de configurations au cas plus difficile des variétés fermées simplement connexes (en dimension paire et avec des résultats partiels en dimension impaire) et nous développons de nouvelles techniques pour étudier le type d'homotopie rationnelle de ces espaces dans le cas des variétés à bord. Pour obtenir ces résultats nous partons de l'observation que l'espace des configurations de deux points est l'espace complémentaire M × M Δ(M), où Δ est le plongement de la diagonale dans M × M . Plus généralement, les outils développés dans cette thèse permettent d'étudier le type d'homotopie rationnelle d'espaces complémentaires issus de l'inclusion d'un sous-polyèdre K dans une variété compacte à bord W. Nous montrons, sous des hypothèses de codimension-connexité, que le type d'homotopie rationnelle du complémentaire est complètement déterminé par la classe d'homotopie de l'inclusion de la paire (K, K∩∂W) dans (W, ∂W). Pour chacun des espaces étudiés, nous construisons des modèles explicites au sens de la théorie de Sullivan qui encodent complètement le type d'homotopie rationnelle de ces espaces.(MATH 3) -- UCL, 201

Rational models of the complement of a subpolyhedron in a manifold with boundary

Let be a compact simply connected triangulated manifold with boundary and let be a subpolyhedron. We construct an algebraic model of the rational homotopy type of out of a model of the map of pairs under some high codimension hypothesis. We deduce the rational homotopy invariance of the configuration space of two points in a compact manifold with boundary under 2-connectedness hypotheses. Also, we exhibit nice explicit models of these configuration spaces for a large class of compact manifolds

Pretty rational models for Poincaré duality pairs

We prove that a large class of Poincaré duality pairs of spaces admit rational models (in the sense of Sullivan) of a convenient form associated to some Poincaré duality CDGA