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Gr\"obner Bases over Algebraic Number Fields
Although Buchberger's algorithm, in theory, allows us to compute Gr\"obner
bases over any field, in practice, however, the computational efficiency
depends on the arithmetic of the ground field. Consider a field , a simple extension of , where is an
algebraic number, and let be the minimal polynomial of
. In this paper we present a new efficient method to compute Gr\"obner
bases in polynomial rings over the algebraic number field . Starting from
the ideas of Noro [Noro, 2006], we proceed by joining to the ideal to be
considered, adding as an extra variable. But instead of avoiding
superfluous S-pair reductions by inverting algebraic numbers, we achieve the
same goal by applying modular methods as in [Arnold, 2003; B\"ohm et al., 2015;
Idrees et al., 2011], that is, by inferring information in characteristic zero
from information in characteristic . For suitable primes , the
minimal polynomial is reducible over . This allows us to
apply modular methods once again, on a second level, with respect to the
factors of . The algorithm thus resembles a divide and conquer strategy and
is in particular easily parallelizable. At current state, the algorithm is
probabilistic in the sense that, as for other modular Gr\"obner basis
computations, an effective final verification test is only known for
homogeneous ideals or for local monomial orderings. The presented timings show
that for most examples, our algorithm, which has been implemented in SINGULAR,
outperforms other known methods by far.Comment: 16 pages, 1 figure, 1 tabl
Gröbner Bases over Extention Fields of
Gröbner bases are one of the most powerful tools in computer algebra and commutative algebra, with applications in algebraic geometry and singularity theory. From the theoretical point of view, these bases can be computed over any field using Buchberger's algorithm. In practice, however, the computational efficiency depends on the arithmetic of the coefficient field.
In this thesis, we consider Gröbner bases computations over two types of coefficient fields. First, consider a simple extension of , where is an algebraic number, and let be the minimal polynomial of . Second, let be the algebraic function field over with transcendental parameters , that is, . In particular, we present efficient algorithms for computing Gröbner bases over and . Moreover, we present an efficient method for computing syzygy modules over .
To compute Gröbner bases over , starting from the ideas of Noro [35], we proceed by joining to the ideal to be considered, adding as an extra variable. But instead of avoiding superfluous S-pair reductions by inverting algebraic numbers, we achieve the same goal by applying modular methods as in [2,4,27], that is, by inferring information in characteristic zero from information in characteristic . For suitable primes , the minimal polynomial is reducible over . This allows us to apply modular methods once again, on a second level, with respect to the
modular factors of . The algorithm thus resembles a divide and conquer strategy and
is in particular easily parallelizable. Moreover, using a similar approach, we present an algorithm for computing syzygy modules over .
On the other hand, to compute Gröbner bases over , our new algorithm first specializes the parameters to reduce the problem from to . The algorithm then computes a set of Gröbner bases of specialized ideals. From this set of Gröbner bases with coefficients in , it obtains a Gröbner basis of the input ideal using sparse multivariate rational interpolation.
At current state, these algorithms are probabilistic in the sense that, as for other modular Gröbner basis computations, an effective final verification test is only known for homogeneous ideals or for local monomial orderings. The presented timings show that for most examples, our algorithms, which have been implemented in SINGULAR [17], are considerably faster than other known methods.Gröbnerbasen sind eines der leistungsfähigsten Werkzeuge in der
Computeralgebra und der kommutativen Algebra, mit Anwendungen in
algebraischer Geometrie und Singularitätentheorie. Aus theoretischer
Sicht können solche Basen mit dem Algorithmus von Buchberger über
beliebigen Körpern berechnet werden. In der Praxis hängt die Effizienz
solcher Berechnungen aber von der Arithmetik im Koeffizientenkörper ab.
In dieser Dissertation betrachten wir Berechnungen von Gröbnerbasen über
zwei verschiedenen Arten von Koeffizientenkörpern. Im ersten Fall
betrachten wir einfache Erweiterungen , wobei
eine algebraische Zahl sei und wir das Minimalpolynom von mit
bezeichnen. Im zweiten Fall sei der algebraische
Funktionenkörper über mit transzendenten Parametern , also . Insbesondere stellen wir
effiziente Algorithmen zur Berechnung von Gröbnerbasen über und
vor. Au\ss{}erdem stellen wir eine effiziente Methode zur Berechnung von
Syzygienmoduln über vor.
Um Gröbnerbasen über zu berechnen, fügen wir, ausgehend von den
Ideen von Noro [35], das Polynom zum betrachteten Ideal hinzu,
mit als zusätzlicher Variable. Anstatt aber überflüssige Reduktionen
von S-Paaren durch das Invertieren algebraischer Zahlen zu vermeiden,
erreichen wir dasselbe Ziel durch Anwendung modularer Methoden wie in
[2,4,27], also durch Rückschlüsse von Daten in Charakteristik auf Daten in Charakteristik Null. Für geeignete Primzahlen ist
das Minimalpolynom über reduzibel. Dies erlaubt uns,auf einer
zweiten Ebeneein weiteres Mal modulare Methoden anzuwenden, bezüglich
der modularen Faktoren von . Der Algorithmus gleicht daher einer
Teile-und-herrsche-Strategie und ist insbesondere leicht zu
parallelisieren. Außerdem stellen wir einen Algorithmus zur Berechnung
von Syzygienmoduln über vor, der einen ähnlichen Ansatz verfolgt.
Um hingegen Gröbnerbasen über auszurechnen, werden in dem neuen
Algorithmus zunächst verschiedene konkrete Werte für die Parameter eingesetzt, um das Problem von auf
zurückzuführen. Der Algorithmus berechnet dann
eine Menge von Gröbnerbasen der so erhaltenen Ideale. Aus dieser Menge
von Gröbnerbasen mit Koeffizienten in wird dann durch Sparse
Multivariate Rational Interpolation eine Gröbnerbasis des Inputideals
berechnet.
Dem gegenwärtigen Stand nach sind diese Algorithmen probabilistisch in
dem Sinne, dass wie bei anderen modularen Gröbnerbasisberechnungen ein
effektiver finaler Verifikationstest nur für homogene Ideale oder für
lokale Monomordnungen bekannt ist. Die vorgelegten Laufzeitmessungen
zeigen, dass die neuen, in SINGULAR [17] implementierten
Algorithmen bei den meisten Beispielen wesentlich schneller sind als
andere bekannte Methoden
Gröbner Bases over Extention Fields of
Gröbner bases are one of the most powerful tools in computer algebra and commutative algebra, with applications in algebraic geometry and singularity theory. From the theoretical point of view, these bases can be computed over any field using Buchberger's algorithm. In practice, however, the computational efficiency depends on the arithmetic of the coefficient field.
In this thesis, we consider Gröbner bases computations over two types of coefficient fields. First, consider a simple extension of , where is an algebraic number, and let be the minimal polynomial of . Second, let be the algebraic function field over with transcendental parameters , that is, . In particular, we present efficient algorithms for computing Gröbner bases over and . Moreover, we present an efficient method for computing syzygy modules over .
To compute Gröbner bases over , starting from the ideas of Noro [35], we proceed by joining to the ideal to be considered, adding as an extra variable. But instead of avoiding superfluous S-pair reductions by inverting algebraic numbers, we achieve the same goal by applying modular methods as in [2,4,27], that is, by inferring information in characteristic zero from information in characteristic . For suitable primes , the minimal polynomial is reducible over . This allows us to apply modular methods once again, on a second level, with respect to the
modular factors of . The algorithm thus resembles a divide and conquer strategy and
is in particular easily parallelizable. Moreover, using a similar approach, we present an algorithm for computing syzygy modules over .
On the other hand, to compute Gröbner bases over , our new algorithm first specializes the parameters to reduce the problem from to . The algorithm then computes a set of Gröbner bases of specialized ideals. From this set of Gröbner bases with coefficients in , it obtains a Gröbner basis of the input ideal using sparse multivariate rational interpolation.
At current state, these algorithms are probabilistic in the sense that, as for other modular Gröbner basis computations, an effective final verification test is only known for homogeneous ideals or for local monomial orderings. The presented timings show that for most examples, our algorithms, which have been implemented in SINGULAR [17], are considerably faster than other known methods.Gröbnerbasen sind eines der leistungsfähigsten Werkzeuge in der
Computeralgebra und der kommutativen Algebra, mit Anwendungen in
algebraischer Geometrie und Singularitätentheorie. Aus theoretischer
Sicht können solche Basen mit dem Algorithmus von Buchberger über
beliebigen Körpern berechnet werden. In der Praxis hängt die Effizienz
solcher Berechnungen aber von der Arithmetik im Koeffizientenkörper ab.
In dieser Dissertation betrachten wir Berechnungen von Gröbnerbasen über
zwei verschiedenen Arten von Koeffizientenkörpern. Im ersten Fall
betrachten wir einfache Erweiterungen , wobei
eine algebraische Zahl sei und wir das Minimalpolynom von mit
bezeichnen. Im zweiten Fall sei der algebraische
Funktionenkörper über mit transzendenten Parametern , also . Insbesondere stellen wir
effiziente Algorithmen zur Berechnung von Gröbnerbasen über und
vor. Au\ss{}erdem stellen wir eine effiziente Methode zur Berechnung von
Syzygienmoduln über vor.
Um Gröbnerbasen über zu berechnen, fügen wir, ausgehend von den
Ideen von Noro [35], das Polynom zum betrachteten Ideal hinzu,
mit als zusätzlicher Variable. Anstatt aber überflüssige Reduktionen
von S-Paaren durch das Invertieren algebraischer Zahlen zu vermeiden,
erreichen wir dasselbe Ziel durch Anwendung modularer Methoden wie in
[2,4,27], also durch Rückschlüsse von Daten in Charakteristik auf Daten in Charakteristik Null. Für geeignete Primzahlen ist
das Minimalpolynom über reduzibel. Dies erlaubt uns,auf einer
zweiten Ebeneein weiteres Mal modulare Methoden anzuwenden, bezüglich
der modularen Faktoren von . Der Algorithmus gleicht daher einer
Teile-und-herrsche-Strategie und ist insbesondere leicht zu
parallelisieren. Außerdem stellen wir einen Algorithmus zur Berechnung
von Syzygienmoduln über vor, der einen ähnlichen Ansatz verfolgt.
Um hingegen Gröbnerbasen über auszurechnen, werden in dem neuen
Algorithmus zunächst verschiedene konkrete Werte für die Parameter eingesetzt, um das Problem von auf
zurückzuführen. Der Algorithmus berechnet dann
eine Menge von Gröbnerbasen der so erhaltenen Ideale. Aus dieser Menge
von Gröbnerbasen mit Koeffizienten in wird dann durch Sparse
Multivariate Rational Interpolation eine Gröbnerbasis des Inputideals
berechnet.
Dem gegenwärtigen Stand nach sind diese Algorithmen probabilistisch in
dem Sinne, dass wie bei anderen modularen Gröbnerbasisberechnungen ein
effektiver finaler Verifikationstest nur für homogene Ideale oder für
lokale Monomordnungen bekannt ist. Die vorgelegten Laufzeitmessungen
zeigen, dass die neuen, in SINGULAR [17] implementierten
Algorithmen bei den meisten Beispielen wesentlich schneller sind als
andere bekannte Methoden
The Fuzzy Prime Spectrum of Partially Ordered Sets
We study the space of prime fuzzy ideals (and the space of maximal fuzzy ideals as a subspace) equipped with the hull-kernel topology in partially ordered sets. Mainly, we investigate the conditions for which the fuzzy prime spectrum of a poset is compact, Hausdorff, and normal, respectively