Vers une généralisation multidimensionnelle de la notion de géodésiques sur les groupes de Lie (1ère partie).

L’utilisation des symétries pour simplifier la résolution d’un problème de mécanique remonte aux travaux d’Euler, Lagrange, Hamilton, Routh, Jacobi, Liouville, Poincaré ... Ils ont étudié la possibilité de réduire la taille de l’espace des phases en se servant de l’ensemble des symétries et des lois de conservation qui leurs sont associées. Cette procédure de réduction peut s’appliquer à une poutre de Reissner - modélisée sous la forme d’un assemblage de sections rigides. Ce système mécanique présente une symétrie dans la mesure où il est invariant sous l’action du groupe des rotations et des translations. La géométrisation de ce problème, envisagée sous une forme classique, consiste à déterminer l’évolution de la déformée de la poutre à chaque instant. Cette approche, appelée « dynamique », présente la difficulté de considérer un espace des configurations de dimension infinie. Les solutions sont les courbes géodésiques d’un espace de fonctions. L’alternative est de considérer non plus un unique paramètre d’évolution (le temps) mais plusieurs (le temps et l’espace). On parle alors d’approche « covariante » où l’espace des configurations est de dimension finie (celle du groupe de symétrie). Dans ce cas, les solutions sont des surfaces (plus généralement, des sections sur un fibré). Envisagée dans un premier temps par De Donder, Weyl, Caratheodory (~1930), cette théorie (field theory) a suscité de l’intérêt et a été utilisée pour différents types d’applications comme par exemple l’étude dynamique des brins d’ADN ou des systèmes articulés. On souhaite l’utiliser à des fins de synthèse sonore par modèles physiques d’une corde vue comme une poutre de Reissner. La théorie des champs nécessite une généralisation, parfois délicate, des outils de la géométrie. La mise en évidence de ces outils ainsi que des symétries et des lois de conservation régissant l’évolution d’une poutre de Reissner feront l’objet de la présentation

Sound synthesis using differential geometry: the integrable system of a nonlinear string with large displacements.

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Contact problems with friction applied to musical sound synthesis: Finite element and difference methods in musical acoustics

cote interne IRCAM: Bensoam06bNone / NoneNational audienceModalys, a sound synthesis software developed at Ircam for research and musical applications, allows one to build virtual instruments based on physical models to obtain the most entire range of expressive variations in the instrument in response to intuitive controls. An instrument, as a complex structure, is described by the mechanical/acoustical interaction of its components (strings, tubes, resonators, soundboard,...). Some new research have been done recently to extend the sound prediction to threedimensional objects with the help of numerical methods. In particular, theoretical and numerical treatment of the unilateral dynamic contact with friction between two arbitrary elastic bodies is studied. In addition to the classical variational statement that arises from static problems, a dynamic contact condition is needed and found by adjusting the energy balance law to the impenetrability condition. In the context of infinitesimal deformation, a reciprocal formulation is then used to reduce this well-posed problem to one involving Green functions defined only on contact surfaces. This allows to use considerably fewer unknowns compare to finite difference algorithms. The ability of the method to predict the contact interaction between two elastic bodies, irrespective of the material constitution and geometry, is highlighted by analytical and numerical simulations

Mise en oeuvre des couplages non linéaires dans le logiciel de synthèse sonore : Modalys

cote interne IRCAM: Bensoam06aNone / NoneInternational audienceLa résolution numérique de modèles non linéaires appliqués aux systèmes dynamiques nécessite l'utilisation d'algorithmes itératifs qui peuvent présenter des inconvénients (temps de calcul coûteux, gestion de la convergence ...). Pour contourner ces problèmes et obtenir un code numérique adaptable à nombre de situations, les concepteurs du logiciel Modalys (J.M. Adrien, J. Morisson) ont imaginé une linéarisation par morceaux des caractéristiques non linéaires. Il leur faut alors introduire la notion d'état d'un couplage selon qu'il se trouve sur tel ou tel segment de cette nouvelle caractéristique linéarisée. Le point de fonctionnement est alors déterminé par la résolution, à chaque pas de temps, d'un système linéaire. Cependant la solution trouvée peut infirmer les hypothèses (changement d'état) et il faut donc relancer une nouvelle résolution au pas de temps considéré dans ce nouvel état. Cet algorithme est particuliérement bien adapté à la résolution des problèmes de contact avec ou sans frottement (frottement de Coulomb) dans la mesure où ces modèles intégrent d'emblée des caractéristiques par morceaux (sans contact, adhérence, glissement). Il permet aussi de gérer simultanément une multitude de couplages entre objets vibrants décrits par la théorie modale. Cependant, pour les systèmes entretenus, les problèmes de convergence peuvent apparaître nécessitant l'utilisation d'un processus itératif à plus qu'un coup

A reciprocal variational approach to the two-body frictionless contact problem in elastodynamics

cote interne IRCAM: Bensoam09aNone / NoneNational audienceThis paper deals with the theoretical and numerical treatment of the unilateral dynamic contact problem between two arbitrary elastic bodies without friction. In addition to the classical variational statement that arises from static problems, a dynamic contact condition is needed and found by adjusting the balance laws of physical quantities to the impenetrability condition. In the context of infinitesimal deformation, a reciprocal formulation is then used to reduce this well-posed problem to one involving Green functions defined only on contact surfaces. It is then often possible to approximate the system using considerably fewer unknowns than with finite difference algorithms. The ability of the method to predict the contact interaction between two elastic bodies, irrespective of the material constitution and geometry, is highlighted by analytical and numerical simulations

Multisymplectic geometry and covariant formalism for mechanical systems with a Lie group as configuration space

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Multisymplectic geometry with a Lie group as configuration space

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Sound synthesis by physical modeling: Realism and complexity for creativity

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Modelling and numerical simulation of strings based on lie groups and algebras applications to the nonlinear dynamics of Reissner Beams

cote interne IRCAM: Bensoam07aNone / NoneNational audienceA nonlinear string can be modelled as a prestressed beam using Reissner's assumptions. Namely, that plane sections normal to the neutral axis remain plane but that their displacements and rotations can be arbitrarily large. The strains are assumed to be small enough to neglect material nonlinearity, which means that each section is a rigid body. The nonlinear analysis of such a system can lead to a complex formulation when second Piola-Kirchoff stress and Green-Lagrange strain tensors are used. Alternatively, Lie groups and algebras offer a efficient formulation by considering the space of mechanical system transformations (the SE3 group) instead of the generalised co-ordinates space (R3). The intrinsic nonlinearities due to the curvature of the group SE3 (geometric nonlinearities) are correctly handled and this leads to a compact and exact form of the nonlinear equilibrium equations from which further models can easily be derived. As evidence, a linearisation in the neighbourhood of the prestressed beam can be written taking into account tension, flexion, shear, rotation and coupling phenomena. The general nonlinear problem can also be solved using pure numerical methods or semi-analytical Volterra series