Limites singulières en faible amplitude pour l'équation des vagues.

In this thesis, we study the behavior of the solutions of the Water-Waves equations in the rigid lid regime as the amplitude of the waves goes to zero. More precisely, the Water-Waves equations investigate the dynamic of a free surface fluid, bounded from below by a fixed bottom. The equations depends on many physical parameters, as the ratio epsilon between the wave amplitude and the deepness of the water. The rigid lid model consists in scaling the time by an epsilon factor and taking the limit epsilon goes to zero, simulating a situation where the amplitude of the waves goes to zero. The mathematical study of this limit correspond to a singular perturbation problem of a dispersive equation. In this thesis, we first use classical tools of hyperbolics equations to prove a long time existence result for the Water-Waves equations. We then prove a dispersion result for these equations, using stationary phase methods and Paley-Littlewood decomposition. We then combine these results to highlight the lack of compactness in the weak (but non strong) convergence of the solutions of the Water-Waves equations as the amplitude goes to zero.Cette thèse a pour objet l’étude des solutions à l’équation des vagues en régime dit toit rigide lorsque l’amplitude des vagues tend vers zéro. Plus précisément, l’équation des vagues modélise le mouvement d’un fluide à surface libre borné en dessous par un fond fixe. Les équations dépendent de plusieurs paramètres physiques, notamment du rapport epsilon entre l’amplitude des vagues et la profondeur. Le modèle asymptotique toit rigide consiste à changer l’échelle de temps d’un rapport epsilon, puis de faire tendre ce paramètre, et donc l’amplitude des vagues, vers zéro. L’étude mathématique de cette limite correspond à un problème de perturbation singulière d’une équation dispersive. Dans cette thèse, on commence par utiliser des outils de résolution d’équations aux dérivées partielles de type hyperbolique pour démontrer un résultat d’existence locale pour l’équation des vagues en temps long. Ceci est suivi par un résultat de dispersion sur l’équation des vagues, utilisant des techniques de type phase stationnaire et décomposition de Paley-Littlewood pour l’étude des intégrales oscillantes. Enfin, la dernière partie de la thèse utilise les résultats obtenus ci-dessus pour étudier un défaut de compacité dans la convergence faible (mais non forte) des solutions de l’équation des vagues lorsque l’amplitude tend vers 0

Artificial boundary conditions for the linearized Benjamin-Bona-Mahony equation

International audienceWe consider various approximations of artificial boundary conditions for linearized Benjamin-Bona-Mahoney equation. Continuous (respectively discrete) artificial boundary conditions involve non local operators in time which in turn requires to compute time convolutions and invert the Laplace transform of an analytic function (respectively the Z-transform of an holomorphic function). In this paper, we derive explicit transparent boundary conditions both continuous and discrete for the linearized BBM equation. The equation is discretized with the Crank Nicolson time discretization scheme and we focus on the difference between the upwind and the centered discretization of the convection term. We use these boundary conditions to compute solutions with compact support in the computational domain and also in the case of an incoming plane wave which is an exact solution of the linearized BBM equation. We prove consistency, stability and convergence of the numerical scheme and provide many numerical experiments to show the efficiency of our tranparent boundary conditions

Singular limits in small amplitude regime for the Water-Waves equations

Cette thèse a pour objet l’étude des solutions à l’équation des vagues en régime dit toit rigide lorsque l’amplitude des vagues tend vers zéro. Plus précisément, l’équation des vagues modélise le mouvement d’un fluide à surface libre borné en dessous par un fond fixe. Les équations dépendent de plusieurs paramètres physiques, notamment du rapport epsilon entre l’amplitude des vagues et la profondeur. Le modèle asymptotique toit rigide consiste à changer l’échelle de temps d’un rapport epsilon, puis de faire tendre ce paramètre, et donc l’amplitude des vagues, vers zéro. L’étude mathématique de cette limite correspond à un problème de perturbation singulière d’une équation dispersive. Dans cette thèse, on commence par utiliser des outils de résolution d’équations aux dérivées partielles de type hyperbolique pour démontrer un résultat d’existence locale pour l’équation des vagues en temps long. Ceci est suivi par un résultat de dispersion sur l’équation des vagues, utilisant des techniques de type phase stationnaire et décomposition de Paley-Littlewood pour l’étude des intégrales oscillantes. Enfin, la dernière partie de la thèse utilise les résultats obtenus ci-dessus pour étudier un défaut de compacité dans la convergence faible (mais non forte) des solutions de l’équation des vagues lorsque l’amplitude tend vers 0.In this thesis, we study the behavior of the solutions of the Water-Waves equations in the rigid lid regime as the amplitude of the waves goes to zero. More precisely, the Water-Waves equations investigate the dynamic of a free surface fluid, bounded from below by a fixed bottom. The equations depends on many physical parameters, as the ratio epsilon between the wave amplitude and the deepness of the water. The rigid lid model consists in scaling the time by an epsilon factor and taking the limit epsilon goes to zero, simulating a situation where the amplitude of the waves goes to zero. The mathematical study of this limit correspond to a singular perturbation problem of a dispersive equation. In this thesis, we first use classical tools of hyperbolics equations to prove a long time existence result for the Water-Waves equations. We then prove a dispersion result for these equations, using stationary phase methods and Paley-Littlewood decomposition. We then combine these results to highlight the lack of compactness in the weak (but non strong) convergence of the solutions of the Water-Waves equations as the amplitude goes to zero