Ein funktionaler zentraler Grenzwertsatz für lokalstationäre Prozesse und sein Bootstrap-Analogon mit Anwendung beim Testen auf Unabhängigkeit

In the second chapter, right after the introduction, we aim to establish a functional central limit theorem (FCLT) for a special class of processes based on the concept of local stationarity as the first step. This requires the determination of a framework we are going to adjust in case of necessity throughout the thesis. Proceeding from the idea of generalizing the findings in Jentsch et al. (2020), we identify two main frameworks which differ in terms of the boundedness of the used function. In Chapter 2, we also present the results leading eventually to the statement of a FCLT in the end. The next chapter transfers the results of the previous one to the bootstrap world. Therefore, we adapt the algorithm of Dowla et al. (2013) to our framework. Then, we establish the bootstrap counterparts of the findings made in Chapter 2. Subsequently, we conduct a first simulation study in Chapter 4. In this context, we pick up on the empirical characteristic function the results in Jentsch et al. (2020) are based upon. At the end, the fineness of our bootstrap procedure is shown for different parameter choices along with our interpretations. The remaining three chapters are dedicated to the last part of the title as they focus on a testing procedure for independence resting on a weighted distance composed of characteristic functions (CFs) and its empirical version. Chapter 5 presents the basic idea of this concept, which is inspired by the distance covariance defined by Székely et al. (2007). Eventually, said testing procedure is presented with the notion of the beneficial effects of a bootstrap analogue. In Chapter 6, we proceed in the same manner as in Chapter 3 to establish the bootstrap versions of the findings presented in the previous one. However, prior to that we transfer the concept of empirical weighted CF-distance to the bootstrap world. Finally, Chapter 7 contains a simulation study using our previously presented testing procedure to detect dependence. After an adjustment of the simulation setup used in Chapter 4, several tables show the non-rejections rates using both underlying independent and dependent innovation series. Our interpretation of these results closes the main part of this thesis. In the first part of the appendix, the proofs belonging to the results established in the main part can be found along with some auxiliary results. Moreover, Chapter B, contains the codes for the simulations as well as some runtime improving calculations.Nach der Einleitung verfolgt das zweite Kapitel die Erarbeitung eines funktionalen zentralen Grenzwertsatzes (FCLT) für eine spezielle Klasse von Prozessen basierend auf dem Konzept der lokalen Stationarität. Ausgehend von der Idee, die Resultate aus Jentsch et al. (2020) zu verallgemeinern, werden zwei verschiedene Hauptszenarien identifiziert, die sich in der Beschränktheit der verwendeten Funktion unterscheiden. In Kapitel 2 werden ebenfalls die Resultate präsentiert, die zur Formulierung des FCLTs führen. Das nächste Kapitel überträgt die Resultate in die Bootstrap-Welt. Dazu wird der Algorithmus von Dowla et al. (2013) den nun vorherrschenden Gegebenheiten angepasst. Daraufhin werden die Bootstrap-Gegenstücke zu den Resultaten aus Kapitel 2 erarbeitet. Anschließend wird in Kapitel 4 eine erste Simulationsstudie durchgeführt. In diesem Zusammenhang werden die empirischen charakteristischen Funktionen, auf denen die Resultate in Jentsch et al. (2020) basieren, aufgegriffen. Am Ende werden die Simulationsergebnisse für verschiedene Parameterwahlen nebst zugehörigen Interpretationen präsentiert. Die verbleibenden drei Kapitel legen ihr Augenmerk auf ein Testverfahren auf Unabhängigkeit, das auf der später definierten weighted characteristic function (CF) distance und deren empirischer Version fußt. Kapitel 5 präsentiert die Grundidee dieses Konzepts, welches in Anlehnung an die distance covariance, wie sie bei Székely et al. (2007) definiert wird, entstanden ist. Schlussendlich kann dann besagtes Testverfahren präsentiert werden. In Kapitel 6 werden die Bootstrap-Versionen der Resultate aus dem vorherigen Kapitel erarbeitet. Doch zuvor wird das Konzept der empirischen weighted CF-distance in die Bootstrap-Welt übertragen. Abschließend enthält Kapitel 7 eine Simulationsstudie, die das zuvor vorgestellte Testverfahren nutzt, um Abhängigkeit zu erkennen. Nach Anpassungen des Simulationssetups aus Kapitel 4 zeigen verschiedene Tabellen die Nichtverwerfungsraten auf Grundlage von sowohl unabhängigen wie abhängigen Innovationen. Die zugehörigen Interpretationen der Ergebnisse beenden letztendlich den Hauptteil dieser Dissertation. Im ersten Teil des Anhangs befinden sich die zu den im Hauptteil vorgestellen Resultaten gehörenden Beweise. Außerdem beinhaltet Kapitel A auch einige zusätzliche Hilfsresultate. Des Weiteren umfasst Kapitel B die Codes für die Simulationsstudien zusammen mit laufzeitverbessernden Rechnungen

A bootstrap functional central limit theorem for time-varying linear processes

We provide a functional central limit theorem for a broad class of smooth functions for possibly noncausal multivariate linear processes with time-varying coefficients. Since the limiting processes depend on unknown quantities, we propose a local block bootstrap procedure to circumvent this inconvenience in practical applications. In particular, we prove bootstrap validity for a very broad class of processes. Our results are illustrated by some numerical examples

Empirical characteristic functions-based estimation and distance correlation for locally stationary processes

In this paper, we propose a kernel-type estimator for the local characteristic function of locally stationary processes. Under weak moment conditions, we prove joint asymptotic normality for local empirical characteristic functions. For time-varying linear processes, we establish a central limit theorem under the assumption of finite absolute first moments of the process. Additionally, we prove weak convergence of the local empirical characteristic process. We apply our asymptotic results to parameter estimation. Furthermore, by extending the notion of distance correlation of Szekely, Rizzo and Bakirov (2007) to locally stationary processes, we are able to provide asymptotic theory for local empirical distance correlations. Finally, we provide a simulation study on minimum distance estimation for a-stable distributions and illustrate the pairwise dependence structure over time of log returns of German stock prices via local empirical distance correlations