Exponential Decay of Correlations for Strongly Coupled Toom Probabilistic Cellular Automata

We investigate the low-noise regime of a large class of probabilistic cellular automata, including the North-East-Center model of Toom. They are defined as stochastic perturbations of cellular automata belonging to the category of monotonic binary tessellations and possessing a property of erosion. We prove, for a set of initial conditions, exponential convergence of the induced processes toward an extremal invariant measure with a highly predominant spin value. We also show that this invariant measure presents exponential decay of correlations in space and in time and is therefore strongly mixing.Comment: 21 pages, 0 figure, revised version including a generalization to a larger class of models, structure of the arguments unchanged, minor changes suggested by reviewers, added reference

Transitions de phase dynamiques : des automates cellulaires probabilistes aux réseaux d'applications couplées

The asymptotic behaviour of a dynamical system is described by probability measures that are invariant under the dynamic. For a chaotic dynamical system, there are many invariant measures but some of them have a stronger physical meaning, especially the SRB measures, which are invariant measures with some regularity properties as the absolute continuity with respect to the Lebesgue measure. Under very general assumptions, it can be proven that finite dimensional chaotic dynamical systems have only one SRB measure. In the case of infinite dimensional systems, the picture is radically different: weakly coupled systems tends to have only one SRB measure, and strongly coupled systems may have several. This phenomenon is known as a phase transition. This thesis will be devoted to the study of phase transitions for some infinite dimensional chaotic dynamical systems called coupled map lattices. We will define a coupled map lattice inspired by Stavskaya's probabilistic cellular automata for which it is possible to prove a phase transition at the level of SRB measures. We will also prove that a wide class of measures converge exponentially fast toward the invariant measure that appears at strong coupling. This will imply that this SRB measure has the exponential decay of correlations property both in space and time.Le comportement asymptotique d'un système dynamique est décrit par des mesures de probabilité invariantes sous l'évolution temporelle associée au système dynamique. Dans le cas d'une dynamique chaotique, s'il existe en général un très grand nombre de mesures invariantes, toutes n'ont cependant pas la même pertinence physique, et en particulier, il convient de distinguer les mesures SRB, qui sont des mesures invariantes possédant des propriétés de régularité supplémentaires comme l'absolue continuité par rapport à la mesure de Lebesgue. Si les systèmes dynamiques chaotiques en dimension finie possèdent en général une unique mesure SRB, le comportement des systèmes chaotiques en dimension infinie est beaucoup plus riche: les systèmes faiblement couplés possèdent une unique mesure SRB, tandis que les systèmes fortement couplés peuvent en avoir plusieurs. Par analogie avec la mécanique statistique, ce phénomène est connu sous le nom de transition de phase. Cette thèse se propose d'étudier les transitions de phase pour une classe particulière de systèmes dynamiques chaotiques en dimension infinie: les réseaux d'applications couplées. Il sera défini un réseau d'applications couplées s'inspirant de l'automate cellulaire probabiliste de Stavskaya, pour lequel il est possible de démontrer l'existence d'une transition de phase au niveau des mesures SRB, et la convergence exponentiellement rapide pour une vaste classe de mesures vers la mesure SRB qui apparaît à fort couplage. Cela impliquera entre autre que cette mesure SRB possède la propriété de décroissance exponentielle des corrélations dans le temps et dans l'espace.(PHYS 3) -- UCL, 200