Reaalilineaaristen yhtälöryhmien iteratiiviset menetelmät

This thesis presents solution methods for equations of the form Mz + M#z = b, where M and M# are complex n x n-matrices, b a given vector and z the vector to he solved. Such an equation could he solved by first rewriting it as a real 2n x 2n system of linear equations Ax = f, hut the methods in this thesis are based on the original formulation. Real-linear operators are mappings z - Mz + M#z. These can he represented in a table form not unlike matrices and real-linear LU-decomposition, Householder transformation and QR-decomposition are defined following [1]. The Householder transformation is modified to improve numerical stability. A new strategy to avoid the breakdown mentioned in [1] in the real-linear LU-decomposition is suggested. The Krylov subspaces of matrices and some solutions methods based on these are introduced roughly following [8]. The real-linear GMRES method given in [1] for the equation kz + M#z = b where k is a complex number, is reconsidered and additionally methods for the cases MT# = (-) M# based on Lanczos-type iteration is presented. New real-linear Givens rotations provide an alternative to using Householder transformations during computations of the real-linear GMRES. There's no GMRES for real-linear equations of the general form, but some iterative Galerkin methods are tried including the one mentioned in [1]. The incomplete LU-decompositions (ILU) for matrices as preconditioning methods are generalized to real-linear operators. ILU(0) and ILUT methods are given as examples. Following [5], the integral equation corresponding to the alpha-equation arising in electrical impedance tomography is discretized resulting in the equation z + M#z = 1. Computations with MÄTLAB provide evidence of the effectiveness for real-linear methods in comparison to the corresponding real 2n x 2n system with GMRES. Previously, there's no direct mention of transforming to the C-linearized equation (I - M#M#) z = 1 - M#1. When the matrix M# arises from the discretization of the mentioned integral equation numerical experiments suggest that using this formulation is recommended. The thesis is self-contained requiring only the basics of linear algebra. Appendix A contains the required definitions concerning matrices.Työssä esitellään ratkaisumenetelmiä yhtälöille muotoa Mz + M#z = b, missä M ja M# ovat kompleksisia n x n-matriiseja, b annettu vektori ja z ratkaistava vektori. Tällainen yhtälö voitaisiin ratkaista muuttamalla se ensiksi reaaliseksi 2n x 2n-kokoiseksi lineaariseksi yhtälöksi Ax = f, mutta tässä työssä menetelmät perustuvat alkuperäiseen muotoon. Reaalilineaariset operaattorit ovat kuvauksia z- Mz + M#. Tässä työssä nämä esitetään taulukkomuodossa matriisien tapaan ja niille annetaan lähteen [1] mukainen reaalilineaarinen LU-hajotelma, Householderin muunnos ja QR-hajotelma. Householderin muunnoksen laskenta-algoritmi annetaan numeerista stabiiliutta parantavalla muutoksella. Lähteessä [1] mainitun LU-hajotelman tukialkion singulaarisuuden ongelman ratkaisuksi ehdotetaan uutta menetelmää. Matriisien Krylovin aliavaruudet ja näihin perustuvia lineaaristen yhtälöryhmien iteratiivisia ratkaisumenetelmiä esitellään lähdettä [8] noudatellen. Lähteen [1] mukainen reaalilineaarinen GMRES-menetelmä yhtälölle kz + M#z= b, missä k on kompleksiluku, käydään läpi ja lisäksi tapauksille MT# = (-)M# tuodaan esiin Lanczos-tyyppiseen iterointiin perustuvat menetelmät. Ensiksi mainitussa menetelmässä tarvittavan Householderin muunnoksen tilalle tarjotaan uutena mahdollisuutena käyttää reaalilineaarisia Givens-rotaatioita. Yleisille reaalilineaarisille yhtälöille ei saada GMRESia, mutta joitakin Galerkinin menetelmään perustuvia iteratiivisia menetelmiä kokeillaan mukaanlukien lähteessä [1] mainittu. Matriisien epätäydelliset LU-hajotelmat (ILU) pohjustusmenetelminä yleistetään reaalilineaarisille operaattoreille. Näistä esimerkkeinä annetaan ILU(0)- ja ILUT-menetelmät. Numeerisia kokeita varten diskretoidaan sähköisessä impedanssitomografiassa esiintyvää alpha- yhtälöä vastaava integraaliyhtälö päätyen yhtälöön z + M#z= 1 lähdettä [5] noudattaen. MATLABilla suoritetut laskennat osoittavat reaalilineaariset ratkaisumenetelmät tehokkaammiksi kuin GMRES vastaavalle reaaliselle 2n x 2n-yhtälöryhmälle. Aikaisemmin ei ole suoraan mainittu edellä olevan yhtälö muuttamista C-lineaariseen muotoon (I - M#M)z = 1 - M#1. Matriisin M# ollessa peräisin edellä mainitun integraaliyhtälön diskretoinnista, on numeeristen kokeiden perusteella ratkaisu tästä muodosta suositeltavaa. Lukijalta edellytetään lineaarialgebran alkeiden hallintaa. Liite A sisältää matriisien osalta käytetyt määritelmät

Epäsileiden johtavuuksien sähköisen impedanssitomografian reaalilineaaristen yhtälöiden numeerinen ratkaisu

This thesis studies the numerical solution and convergence of a certain discretized real-linear Beltrami equation. This equation arises in the uniqueness proof by Astala and Päivärinta for the two-dimensional electrical impedance tomography problem with nonsmooth conductivities. The real-linear matrix equation appearing after discretizing the Beltrami equation is found to have the form appropriate for the application of the real-linear Generalized Minimal Residual (GMRES) method published by Eirola, Huhtanen and von Pfaler. The findings include a fast numerical solution method for the discretized real-linear Beltrami equation, and an implementation of a reconstruction method based on the Astala-Päivärinta uniqueness proof. The solution of the discretized Beltrami equation is shown to converge to the correct solution as the grid is refined, including a convergence rate estimate. For the real-linear GMRES method, the norms of the residuals are bounded in terms of a polynomial approximation problem on the complex plane resembling the situation of classical GMRES. Moreover, complex symmetric matrices are shown to possess a mathematical framework analogous to the classical Hermitian Lanczos framework.Väitöskirjassa tutkitaan erään diskretoidun reaalilineaarisen Beltramin yhtälön numeerista ratkaisemista ja suppenemista. Tämä yhtälö esiintyy Astalan ja Päivärinnan kaksiulotteisen sähköisen impedanssitomografian ongelman yksikäsitteisyystodistuksessa epäsileille johtavuuksille. Diskretoitua Beltramin yhtälöä vastaava reaalilineaarinen matriisiyhtälön nähdään olevan soveltuvaa muotoa Eirolan, Huhtasen ja von Pfalerin reaalilineaarisen GMRES (Generalized Minimal Residual) -menetelmän käytölle. Tulokset sisältävät nopean numeerisen ratkaisumenetelmän diskretoidulle reaalilineaariselle Beltramin yhtälölle ja Astalan-Päivärinnan todistukseen perustuvan menetelmän toteutuksen. Diskretoidun Beltramin yhtälön ratkaisun osoitetaan suppenevan oikeaan ratkaisuun hilaa tihennettäessä sisältäen myös suppenemisnopeuden arvion. Reaalilineaarisen GMRES-menetelmän jäännösvektoreiden normeille osoitetaan yläraja-arvio kompleksitason polynomiapproksimaatiotehtävän suhteen muistuttaen klassisen GMRES-menetelmän tilannetta. Lisäksi kompleksisymmetrisille matriiseille osoitetaan klassista hermiittisten matriisien Lanczosin matemaattista viitekehystä vastaavan kehyksen olemassaolo