On a Geometric Foundation of Mathematics (Su una Fondazione Geometrica della Matematica)

Frege with Grundlagen der Arithmetik and Hilbert with Grundlagen der Geometrie are two outstanding figures that are attributed to a fundamental role in the arithmetization of mathematics. However, the latest writings of Frege, released posthumously, testify to his reflection on the nature of mathematics. In them Frege argues that mathematics is all about geometry and begins a theory that aims to define complex numbers geometrically. For this purpose he introduced a notion of identical relationships that tends to set up a geometric aspect ratio. In addition, Grundlagen der Geometrie can be given a radically different reading from that which emphasizes Hilbert's exclusive intention to found geometry on a purely formal axiomatic system. Several authors argue that by his work, and in particular through the arithmetic of the segments introduced in it, Hilbert wanted to emancipate the geometry from instruments outside her, such as numbers, finding them within a substantially synthetic geometry

On the definition of periodic decimal representations: An alternative point of view

Until the seventeenth century, rational numbers were represented as fractions. It was starting from that century, thanks to Simon Stevin, that for all practical purposes the use of decimal notation became widespread. Although decimal numbers are widely used, their organic development is lacking, while a vast literature propagates misconceptions about them, among both students and teachers. In particular, the case of the period 9 is especially interesting. In this paper, changing the point of view, we propose substituting the usual definitions of the periodic decimal representation of a rational number - the one obtained through long division introduced in the secondary school and the one obtained through the series concept for undergraduate level - with one which, instead of infinite progressions, uses a known property of fractions deducible from Euler\u27s Totient Theorem. The long division becomes a convenient algorithm for obtaining the decimal expansion of a rational number. The new definition overcomes the difficulties noted in the literature. An elementary proof of Euler\u27s Totient Theorem will be given depending only on Euclidean Division Theorem

On an assumption of geometric foundation of numbers

In line with the latest positions of Gottlob Frege, this article puts forward the hypoth- esis that the cognitive bases of mathematics are geometric in nature. Starting from the geometry axioms of the Elements of Euclid, we introduce a geometric theory of propor- tions along the lines of the one introduced by Grassmann in Ausdehnungslehre in 1844. Assuming as axioms, the cognitive contents of the theorems of Pappus and Desargues, through their configurations, in an Euclidean plane a natural field structure can be iden- tified that reveals the purely geometric nature of complex numbers. Reasoning based on figures is becoming a growing interdisciplinary field in logic, philosophy and cognitive sciences, and is also of considerable interest in the field of education, moreover, recently, it has been emphasized that the mutual assistance that geometry and complex numbers give is poorly pointed out in teaching and that a unitary vision of geometrical aspects and calculation can be clarifying

Fondamenti geometrici per la matematica

Presupposto di questa trattazione è l'ipotesi che tutte le strutture matematiche non sarebbero state concepite da una mente che non ha relazioni con il mondo esterno attraverso un corpo capace di interagire con esso, e la geometria rappresenta l'ambito della matematica che ha più forte connessione con la realtà sensibile. In questo testo partendo dalla geometria euclidea si ottengono per astrazione da oggetti geometrici i numeri (dai naturali ai complessi) e in più tutto il nucleo della matematica, immutabile, al di là dei diversi paradigmi succedutisi nel corso della sua storia. Il percorso individuato, originale, aderente ai recenti sviluppi delle scienze cognitive e accessibile anche ad un lettore non specialista, prende le mosse dalla geometria degli Elementi di Euclide rivisitandone le nozioni alla luce degli sviluppi odierni della matematica e ponendo in risalto il legame tra numeri e geometria attraverso le configurazioni dei Teorema di Talete, Teorema di Pappo e Teorema di Desargues. I contenuti della geometria euclidea vengono tradotti in termini di calcolo geometrico tra punti del piano ottenendo nel piano euclideo la struttura di campo (dei complessi) senza coinvolgere il concetto di numero ma utilizzando solo gli enti primitivi della geometria euclidea e gli assiomi ad essi relativi. A partire da questa struttura si individuano la struttura affine e metrica del piano euclideo e attraverso la struttura affine si perviene in modo naturale al classico metodo delle coordinate. Il calcolo geometrico introdotto consente anche di dimostrare una versione del Teorema di Pitagora relativa a lunghezze di segmenti e non ad aree in un ambito puramente geometrico. La corrispondente versione del Teorema di Carnot che si ottiene individua per via puramente geometrica il prodotto scalare correlato alla metrica introdotta geometricamente nel piano euclideo. Le Appendici sono dedicate perlopiù agli sviluppi della teoria precedentemente svolta: vengono trattate la teoria elementare dei numeri e della misura, la geometria euclidea dello spazio, la geometria analitica nel piano e nello spazio, gli spazi vettoriali euclidei di dimensione superiore a tre con applicazione ai sistemi lineari

DA EUCLIDE ALL'ANALISI DIFFERENZIALE DI CURVE E SUPERFICI

volume, partendo da un calcolo puramente geometrico tra i punti dello spazio euclideo, definisce, rapidamente e da un punto di vista elementare, gli strumenti di base dell’analisi differenziale delle curve e delle superfici. Fondamento su cui viene posto il calcolo geometrico è la geometria sviluppata nei primi cinque libri degli Elementi di Euclide, che codifica a un livello razionale e astratto l’uso della riga e del compasso

Iterated grand and small Lebesgue spaces.

The norm of the grand Lebesgue spaces is defined through the supremum of Lebesgue norms, balanced by an infinitesimal factor. In this paper we consider the spaces defined by a norm with an analogous expression, where Lebesgue norms are replaced by grand Lebesgue norms. Without the use of interpolation theory, we prove an iteration-type theorem, and we establish that the new norm is again equivalent to the norm of grand Lebesgue spaces. We prove that the expression involved satisfy the axioms of Banach Function Spaces, and we find explicit values of the constants of the equivalence. Analogous results are proved for small Lebesgue spaces