삼각법 영역을 중심으로

학위논문 (석사) -- 서울대학교 대학원 : 사범대학 수학교육과, 2020. 8. 권오남.삼각법(trigonometry)을 학교 수학에서 다루는 데에는 두 가지 의의가 있다. 먼저 삼각형의 변의 길이나 각의 크기 등을 이용하여 측량, 항해, 지도 제작, 과학, 공학 등과 같이 실생활과 다른 학문과의 연결을 통해 수학의 유용성을 인식하도록 한다. 또한 다항식이 아닌 새로운 형태의 함수 및 주기현상을 이해하는 도구로서의 삼각함수가 제시되면서 고등 수학 개념에의 연결을 돕는다는 점이 있다. 그러나 기존의 삼각법을 주제로 한 연구는 삼각비에만 초점을 맞추어 실생활 활용 방안을 제안하거나 삼각함수에만 초점을 맞추어 호도법, 삼각함수의 도입 등을 다루고 있다. 따라서 삼각법을 전체적으로 조망한 연구를 통해 학교 수학에서 삼각법을 배우는 두 가지 의의를 살펴보는 연구가 필요하다. 한편, 교과서는 의도된 교육과정과 실행된 교육과정을 연결하는 매개체로서 교수·학습에 있어 중요한 역할을 한다. 특히 교과서나 교육과정을 국제 비교하는 연구는 학생들에게 제공될 것으로 예상되는 학습 기회의 유사점과 차이점을 파악하고, 의미 있는 과제나 학습경로가 우리나라에서도 적용 가능한지에 대한 단서를 제공할 수 있다. 삼각법 내용은 국제적으로 대부분의 나라가 교육과정에 포함하여 다루고 있으므로 국제 비교를 통해 우리나라 삼각법 지도에 시사점을 줄 수 있다. 따라서 본 연구는 호주, 핀란드의 수학 교과서에서 삼각법 영역을 비교하고자 했다. 또한 교과서와 교육과정을 통합적으로 분석하는 관점은 교육과정적 배경을 통해 교과서 분석 결과를 논의할 수 있게 하므로 본 연구에서는 Charalambous 외(2010)가 제시한 교과서의 수평적 및 수직적 분석을 통해 수평적 분석으로는 교육과정의 목표, 내용 체계, 성취기준을 살펴본 뒤 수직적 분석으로 삼각법 내용의 학습 시기, 학습경로, 문제의 맥락을 분석하였다. 교육과정을 분석한 결과 세 국가 모두 중학교 기하 영역에서 삼각법을 도입하고 있었으며 공통적으로 문제 해결을 강조하고 있었다. 우리나라는 9학년 기하 영역과 11학년 해석 영역에서, 호주는 9, 10학년의 측정과 기하 영역과 11학년의 삼각법의 응용 과목에서, 핀란드는 9학년의 기하 영역과 고등학교의 기하 및 삼각함수 과목에서 삼각법을 다루고 있었다. 삼각법 학습 시기를 분석한 결과 핀란드와 호주는 둔각의 삼각비로, 우리나라는 삼각함수를 통해 공통적으로 사인법칙, 코사인법칙, 삼각형의 넓이를 학습하기 전에 다루는 각을 확장하는 것을 확인할 수 있었다. 세 국가 간의 주된 차이점으로는 삼각함수의 도입 시기와 삼각법 내용을 다루는 학년의 연속성이 있었다. 우리나라는 사인법칙, 코사인법칙, 삼각형의 넓이를 학습하기 전에 호도법과 삼각함수를 도입한 것에 비해 호주와 핀란드는 가장 나중에 호도법과 삼각함수를 도입했다. 두 번째로 삼각비의 정의 방법에 대한 교과서의 학습 경로에서 세 국가 모두 삼각형 방법에서 단위원 방법을 거친 뒤 삼각함수로 발전한다는 공통점이 있었다. 다만 우리나라는 중학교 교과서에서 사분원을 이용한 설명이 나타났으며 학습경로에서 사분원에서의 삼각비의 값을 학습한 뒤 사분원을 확장하거나 참조삼각형 등을 통해 각을 확장하는 과정을 거치지 않고 바로 일반각을 학습한 뒤 삼각함수를 학습했다. 그러나 이는 기존에 삼각법에 대한 통합적 이해를 위해 제안했던 내용 체계나 이해 모델과는 다른 양상이므로 우리나라 학생들이 삼각법 내용을 통합적으로 이해하는 데 어려움을 겪을 것으로 예상된다. 세 번째로 문제의 맥락을 분석한 결과 세 국가 모두 맥락 없는 문제의 비율이 가장 높았다. 위장 맥락 문제는 우리나라가 호주나 핀란드에 비해 2배 가량 높은 비율을 보였다. 이는 대부분의 문제에서 이미 수학적 처리가 된 도형을 함께 제시하기 때문이었다. 관련있고 필수적인 맥락 문제의 비율은 호주, 핀란드, 한국 순으로 나타났으며 실제적 맥락 문제는 호주나 핀란드에 비해 우리나라가 차지하는 비율이 매우 적었다. 이러한 연구 결과를 바탕으로 다음과 같은 시사점이 도출되었다. 첫째, 우리나라의 삼각법 학습경로에서 생략되었던 단위원 방법을 활용한 학습을 통해 삼각법을 통합적으로 이해하는 데 도움이 되는 내용을 교과서에 제시하는 것을 고려할 수 있다. 둘째, 활용 문제에서 실생활 맥락을 강조하여 현실과의 연결성을 인식할 수 있는 문제를 제시하고 교과서나 교육과정에서 공학적 도구를 적극적으로 활용하여 이를 돕도록 하는 방안을 제시할 필요가 있다. 셋째, 삼각법을 다루고 있는 교육과정의 방식 및 영역에 대해 재고해 볼 필요가 있다.There are two important meanings for dealing with trigonometry in school mathematics. First, students recognize the usefulness of mathematics by linking it with real world problems and other disciplines such as surveying, navigation, cartography, science, engineering, etc. by using the length or angle of the sides of a triangle. In addition, the trigonometric function as a tool to understand new types of functions and periodic phenomena, rather than polynomials, is suggested to help connect to higher mathematics concepts. However, the existing research on the subject of trigonometry focuses only on trigonometric ratios, suggests practical use methods, or focuses only on trigonometric functions and deals with radian and circular measure. Therefore, it is necessary to examine the two meanings of learning trigonometry in school mathematics through a study that has a comprehensive view. Textbooks play an important role in teaching and learning as intermediary between the intended curriculum and the implemented curriculum. In particular, research that compares textbooks and curriculums internationally can identify similarities and differences in opportunities to learn trigonometry offered to students, and give inform as to whether meaningful tasks or learning paths are applicable in Korea as well. Since the content of trigonometry is included in the curriculum in most countries internationally, it can give implications to trigonometry teaching and learning in Korea through international comparison. Therefore, this study attempted to compare trigonometry in textbooks in Korea, Australia and Finland. In addition, the integrated analysis of textbooks and curricula can discuss the results of textbook analysis through curriculum background in textbook analysis, so in this study, horizontal and vertical analysis of textbooks presented by Charalambous et al.(2010) examined the goals, content systems, and achievement criteria of the curriculum through horizontal analysis and analyzed learning path, and context of problems through vertical analysis. According to the analysis of the curriculum, all three countries were introducing trigonometry in the geometry of middle schools, and common emphasis was on solving problems. Korea was dealing with trigonometry in the 9th grade geometrical area and 11th grade analysis area, Australia in the 9th and 10th grade measurement and geometry areas and the 11th grade the application of trigonometry, Finland in the 9th grade geometry area and high school geometry and trigonometric functions. As a result of analyzing the learning process, it was confirmed that Finland and Australia have an trigonometric ratios of obtuse angle, and Korea uses a trigonometric function to expand the angles covered before learning the sine rule, cosine rule, and area of the triangle. The main differences between the three countries was the time of introduction for trigonometric functions and the continuity of grades dealing with trigonometry. Australia and Finland introduced the circular measure and trigonometric function last, while Korea introduced the trigonometric function before learning the sine law, the cosine law, and the area of the triangle. Second, in the learning path of textbooks on how to define a trigonometric ratio, all three countries had a commonality that they experienced triangular methods and went through the unit circle method and developed into trigonometric functions. In Korea, textbooks in middle school were presented using quadrants. In the learning path of Korean textbooks, after learning the value of the trigonometric ratios in the quadrant, the general angle and the trigonometric function were introduced immediately without going through the process of expanding the quadrant or expanding the angle through the reference triangle. However, this is different from the content framework or understanding model proposed for the integrated understanding of trigonometry, so it is expected that Korean students will have difficulty in understanding the trigonometry. Third, as a result of analyzing the context of the problem, three countries had the highest proportion of problems without context. The problem of camouflage context in Korea was twice as high as that of Australia and Finland. This was because most Korean textbook problems presented figures that were already mathematized. The proportion of relevant and essential contextual problems was in the order of Australia, Finland and Korea, and the realistic context problem accounted for a very small proportion of Korea compared to Australia and Finland. Based on these findings, the following implications were derived. First, it can be considered to present in the textbook contents that help to understand the trigonometry in an integrated way through learning unit circle method, which was omitted from the trigonometry learning path in Korea. Second, it is necessary to present a problem that can recognize the connection with the reality by emphasizing the real-life context in the application problem, and suggest a method to help this by actively using technological devices in textbooks or curriculum. Third, it is necessary to reconsider the ways and areas of the curriculum that deal with trigonometry.I. 서론 1 1. 연구의 필요성 1 2. 연구의 목적 및 연구 질문 4 II. 문헌 검토 6 1. 교과서 및 교육과정 비교 연구 6 2. 삼각법 8 2.1. 삼각법의 수학적 접근 8 2.2. 삼각법 학습에 대한 연구 10 3. 문제의 맥락 17 III. 연구방법 20 1. 연구 대상 20 2. 분석 기준 24 3. 분석 절차 29 IV. 교육과정 분석 31 1. 한국, 호주, 핀란드의 교육과정 목표 31 2. 한국, 호주, 핀란드의 수학과 내용 체계 33 3. 한국, 호주, 핀란드의 삼각법 영역의 성취기준 36 V. 연구 결과 39? 1. 삼각법 학습 시기 39 2. 삼각비 정의 방법 43 3. 삼각법 문제의 맥락 분석 59 VI. 결론 66 1. 요약 66 2. 논의 및 시사점 68 3. 연구의 한계 및 제언 72 참고문헌 74 Abstract 81Maste

The Musical Analysis and Study of Vocal Technique of Samuel Barbers Song Cycle ≪Hermit Songs Op. 29≫

학위논문(석사) -- 서울대학교대학원 : 음악대학 음악과, 2023. 2. 박미자.This Study is a researcher's master's degree thesis, an analysis of the song cycle ≪Hermit Songs Op.29≫, a vocal work of Samuel Barber (1910-1981), a composer representing the United States in the 20th century. ≪Hermit Songs Op.29≫ is Samuel Barber's representative vocal work that harmonizes the modern techniques of the 20th century on top of the traditional 19th century expression of lyrical music, and occupies an important position in the history of contemporary American art songs. The work included modern English translations of unidentified poems written in the margins by Irish monks and scholars in the 8th and 13th centuries, especially by applying 20th century techniques such as semi-tone progression, dissonance, and ambiguous composition on top of traditional 19th century Romantic techniques such as mode, counterpoint, fuga, and canon techniques. Particularly unique compared to other vocal works, the lyrics of the work are poems of unknown authors that deviate from the formal framework of general literary works, and are free in terms of form. Among these poems, the composer adopted the key-word to create musical themes and motivations, and accordingly, he composed and developed music by combining poetry, songs, and accompaniments. Prior to the analysis of Samuel Barber's ≪Hermit Songs Op.29≫, this paper focused on the analysis of the interpretation of the poem, its hidden meaning, and the musical theme of expressing the central keyword, starting with the investigation of the composer's life and tendency by period.본 논문은 연구자의 석사 과정 학위 논문으로서, 20세기 미국을 대표하는 작곡가 사무엘 바버(Samuel Barber, 1910-1981)의 성악 작품인 연가곡 ≪Hermit Songs Op.29≫에 대한 분석 연구이다. ≪Hermit Songs Op.29≫는 서정적인 음악의 표현을 담은 19세기의 전통 기법 위에, 20세기의 현대 기법이 조화를 이루는 사무엘 바버의 대표적인 성악 작품으로서, 현대 미국 예술 가곡사에 중요한 위치를 차지한다. 이 작품은 8-13세기의 아일랜드 수도승과 학자들이 필사본을 제작하는 과정에서 여백에 써놓은 작자 미상의 시를 현대 영어로 번역한 가사에 곡을 붙였으며, 특히 선법, 대위법, 푸가, 캐논 기법과 같은 19세기 낭만주의 전통적인 기법 위에 반음계 진행, 불협화음, 모호한 조성과 같은 20세기의 기법들을 적용함으로써, 작곡자의 독창적인 음악 스타일을 나타내었다. 특별히 다른 성악 작품에 비해 독특한 점은, 작품의 가사가 일반적인 문학 작품의 형식적인 틀에서 벗어난 작자 미상의 시로, 형식 면에서 매우 자유롭다. 작곡자는 이러한 시어들 중에서, 중심적인 주제어(Key-word)를 채택하여 음악적인 주제와 동기를 만들고, 이를 따라 시와 노래, 반주 등을 조합하여, 음악을 구성하고 전개하였다. 본 논문은 사무엘 바버의 ≪Hermit Songs Op.29≫ 작품 분석에 앞서, 작곡가의 생애와 시기별 성향 및 성악 작품의 음악적 특징과 작곡 배경에 대한 조사연구로 시작하여, 작품에 나타난 시어의 해석과 그 숨은 의미, 그리고 중심 키워드를 표현하는 음악적인 주제가 어떻게 효과적으로 형성되고 전개되어 나타났는지에 대한 분석에 중점을 두었다.I. 서론 1 1. 연구의 목적 및 의의 1 2. 연구 범위와 방법 3 II. 본론 5 1. 작곡가의 생애와 작품 세계 5 1) 사무엘 바버(Samuel Barber)의 생애 5 2) 작품 활동과 시기별 특징 7 3) 성악 작품과 음악적 특징 11 2. Hermit Songs Op.29의 분석 및 성악적 적용 15 1) 작품의 배경과 특징 15 2) 가사 해석 및 악곡 분석 23 (1) At saint Patrick's Purgatory(성 패트릭의 연옥에서) 23 (2) Church Bell at Night(밤에 울리는 교회 종소리) 33 (3) St. Ita's Vision(성 이타의 환상) 38 (4) The Heavenly Banquet(천국의 만찬) 56 (5) The Crucifixion(십자가에 못 박히심) 65 (6) Sea-Snatch(바다 위의 폭풍우) 74 (7) Promiscuity(혼음) 83 (8) The Monk and His Cat(수도승과 고양이) 89 (9) The Praises of God(하나님을 찬양함) 100 (10) The Desire for hermitage(은둔을 향한 갈망) 110 III. 결론 125 참고문헌 128 Abstract 131석