Synthesis of singular Markovian jump systems with disturbance

DoctorSingular Markovian jump system denotes a system that has the properties of singular system and Markovian jump system. Singular system, which is also known as descriptor system or generalized state-space system, represents the system dynamics by using the differential equation and algebraic equation of system states. Otherwise, Markovian jump system is a kind of stochastic system where the system dynamics follows a Markov process. Since the singular Markovian jump system has the advantages of both singular system and Markovian jump system, it is clear that the singular Markovian jump system can be applied to model of more practical systems than the normal linear systems. Singular Markovian jump system can be represented as the following systems: \begin{align}\label{smjs_abs} E\dot{x}(t)=A(r(t))x(t), \end{align} where $x(t)$, $r(t)$ denotes the state and Markovian process. The notation $A(\cdot)$ means the system dynamics which can be determined by the Markov process $r(t)$. The matrix $E$ can be supposed as singular, i.e., the rank of E is smaller than the dimension of E. The key problems in analysis and synthesis of singular Markovian jump system can be known as follows: \begin{itemize} \item[$\bullet$] Finding a bounded and converging solution of the differential equation \eqref{smjs_abs} against the singular matrix $E$ \item[$\bullet$] Considering the Markov process dependent system matrices which related to the transition rate or probability \end{itemize} Thus, researches on singular Markovian jump system have been used the concept of \textit{stochastic admissibility} which contains stochastic stability, regularity (or causality in the discrete-time domain), and impulsiveness, whereas the concept of stability is considered for the normal linear system. This dissertation deals with the robust synthesis problems for singular Markovian jump system by using a set of convex condition which holds a necessary and sufficient condition of stochastic admissibility. In the real world, the existence of disturbance is inevitable, and handling the disturbance in the system has been a hot topic in the field of control theory. In this dissertation, two concepts of analysis for singular Markovian jump system with disturbance are considered in the view of the transfer function between the output and disturbance in the system. \begin{itemize} \item[$\bullet$] A bounded real lemma which considers the norm-bound property of the transfer function between system output and disturbance, and its application to \H_\infty control \item[$\bullet$] A positive real lemma which considers the positive realness of the transfer function between system output and disturbance, and its application to passivity-based control \end{itemize} In chapter \ref{Chap2}, a bounded real lemma for singular Markovian jump system is proposed as an analysis criterion of singular Markovian jump system with disturbance. Two sets of linear matrix inequalities are provided to hold the necessary and sufficient condition of the bounded real lemma for singular Markovian jump systems in continuous-time and discrete-time domain, respectively. On the other hand, the existing work in the literature has been considered sufficient conditions. Due to the convexity of linear matrix inequalities, an optimal \H_\infty performance $\gamma$ can be obtained. In chapter \ref{Chap3}-\ref{Chap4}, \H_infty control synthesis problems for singular Markovian jump system are solved by using bounded real lemma in chapter \ref{Chap2}. Both state-feedback \H_\infty control (in chapter \ref{Chap3}) and dynamic output-feedback \H_\infty control (in chapter \ref{Chap4}) are considered. In both cases, non-convex stabilization criteria are constructed by applying the bounded real lemma in chapter \ref{Chap2} to the closed-loop system with proposed control. To convert the non-convex conditions into convex conditions, a special form of an invertible matrix is designed. By applying congruence transformation with the designed matrix, the convex conditions for the existence of control gains are successfully obtained. Especially, since the synthesis problem of dynamic output-feedback control is considered for the disturbance-free output, the stabilization criterion for the dynamic output-feedback control is obtained as the necessary and sufficient condition. Thus, the optimal dynamic output-feedback \H_\infty control can be constructed via the proposed method. In chapter \ref{Chap5}-\ref{Chap6}, \H_\infty filtering problems for singular Markovian jump systems are considered. For the full-order filter, which has the same as the dimension of singular Markovian jump system and their own dynamics, filtering error is formulated. Then the goal is obtaining the filter gains which make the filter error converge to zero. First, the filtering criterion is also constructed as non-convex condition. To reformulate it into the convex condition, two relaxation methods are used: 1) variable replacement method in chapter \ref{Chap5}, and 2) elimination method (i.e., Finshler’s lemma) in chapter \ref{Chap6}. Both methods allow us to obtain the equivalent condition of the non-convex filtering conditions into strict linear matrix inequalities. Therefore, two conditions in chapter \ref{Chap5} and chapter \ref{Chap6} are exactly the same and they can find the optimal solution of \H_\infty filtering problem for singular Markovian jump systems. It is verified that both methods obtain the same optimal \H_\infty performance of $\gamma$. Especially, the use of Finshler’s lemma holds the necessary and sufficient condition of the existence of filter gains even the transition rate of singular Markovian jump system is incomplete. In chapter \ref{Chap7}-\ref{Chap8}, a positive real lemma and its application to control synthesis are provided. Chapter \ref{Chap7} suggests a necessary and sufficient condition of positive real lemma for singular Markovian jump system in terms of linear matrix inequalities, whereas the existing work in the literature suggests only the sufficient conditions. The proposed condition in chapter \ref{Chap7} can be used to the passivity analysis between system output and disturbance. Thus, a passivity-based state-feedback control for singular Markovian jump system is introduced in chapter \ref{Chap8}. By using the positive real lemma in chapter \ref{Chap7}, a sufficient condition for the existence of the state-feedback control gain is proposed in terms of linear matrix inequalities. In summary, this dissertation introduces two analysis conditions for robust control of singular Markovian jump system as the characteristics of the transfer function between system output and disturbance: 1) Bounded real lemma and 2) positive real lemma. In both cases, a necessary and sufficient condition is introduced as a set of linear matrix inequalities. The application to the synthesis problem is also considered: 1) \H_\infty control and 2) Full-order \H_\infty filter. Since the synthesis criteria are also expressed in terms of linear matrix inequalities, the proposed methods can be applied to the optimization problem. Especially, the necessary and sufficient conditions for the existence of dynamic output-feedback \H_\infty control and full-order \H_\infty filter are expressed as the convex condition. This is worth mentioning that the optimal control and filtering solution can be constructed by the proposed methods. All methods in this dissertation are verified as numerical examples.특이 마르코브 점프 시스템은 특이 시스템과 마르코브 시스템의 특징을 모두 포함하는 시스템을 의미한다. 특이 시스템은 시스템의 동적 특성이 상태의 미분/차분 방정식과 대수방정식의 조합으로 표현되는 시스템을 의미한다. 마르코브 시스템은 시스템의 동적 특성을 나타내는 상태 모델이 마코브 프로세스 (Markov process)를 따르는 확률적 특성에 의해 변하는 시스템을 의미한다. 특이 마르코브 시스템은 위 두가지 시스템의 특성을 모두 가지므로 일반 선형 시스템 (normal linear system)에 비해 더 많은 시스템의 모델링에 응용 가능하다는 장점을 갖는다. 특이 마르코브 점프 시스템은 다음과 같은 generalized 상태 방정식으로 표현 된다. Ex(t)=A(r(t))x(t), (DT ver), 위 수식에서 x(t), r(t)는 각각 시스템의 상태와 마코브 프로세스를 나타낸다. A(\dot)의 경우 시스템 dynamics를 표현하는 행렬을 의미하는데, 확률적 시스템의 특징에 따라 마코프 프로세스 r(t)에 따라 값이 변한다. 행렬 E는 특이 행렬, 즉 rank가 dimension보다 작은 행렬을 의미한다. 특이 마르코브 점프 시스템을 다루는 과정에서 발생하는 문제는 크게 다음과 같다. - 미분 방정식 (1)의 수렴하는 해를 구하는 과정에서 특이 행렬 E로 인해 발생하는 문제 - 시스템 행렬의 확률적 변화로 인해 발생하는 문제 일반 시스템에서 안정성(stability) 조건만을 다루는 반면, 위 문제들을 고려하기 위해 특이 마르코브 점프 시스템의 제어 문제에서는 시스템의 stability, regularity (causality), impulsiveness를 모두 충족시키는 확률적 허용성(stochastic admissibility) 조건을 요구한다. 본 논문에서는 확률적 허용성의 조건으로 알려진 선형 행렬 부등식 형태를 활용한 강인 제어 문제를 다룬다. 또한 현실 시스템에서 항상 존재하는 외란을 다루기 위해, 강인 제어 분야에서는 외란-시스템 출력 사이의 전달 함수(transfer function)을 기반으로 하는 안정성 분석 및 안정화 조건을 연구해왔다. 대표적인 예로 1) 외란-시스템 출력 사이 전달 함수의 norm-bound 성질을 다루는 bounded real lemma와 이를 활용한 H_infty control, 2) 외란-시스템 출력 사이 전달 함수의 positive real 성질을 다루는 positive real lemma와 이를 활용한 passivity control이 존재한다. 본 논문에서는 특이 마르코브 점프 시스템의 bounded real lemma와 positive real lemma의 필요충분조건을 유도하고, 이를 활용한 제어기 및 필터 설계 기법을 제시한다. Chapter 2에서는 특이 마르코브 점프 시스템의 bounded real lemma를 제안한다. 기존 연구들이 충분 조건만을 다루어왔던 한계를 보완하기 위해, 본 단원에서는 bounded real lemma의 필요충분 조건을 선형 행렬 부등식의 형태로 제시했다. 선형 행렬 부등식의 볼록 성질 (convexity)을 활용하여 bounded real lemma의 성능 지표인 H_infty performance에 대한 최적 값을 구할 수 있다. Chapter 3-4에서는 chapter 1에서 제시한 bounded real lemma를 이용한 제어기 설계 기법을 소개한다. 특이 마르코브 점프 시스템의 상태 궤환 H_inf 제어기와 동적 상태 궤환 H_inf 제어기를 모두 고려한다. Chapter 3에서는 상태 궤환 \H_\infty 제어기를, chapter 4에서는 동적 출력 궤환 \H_\infty 제어기를 다룬다. 제어기를 적용한 폐루프 시스템을 bounded real lemma에 적용하면 비볼록 (non-convex) 형태의 안정화 조건이 얻어진다. 비볼록 조건을 볼록 (convex) 조건으로 변경시켜 제어 이득을 구하기 위한 선형 행렬 부등식을 유도하였다. 특히, 동적 출력 궤환 \H_\infty 제어기의 경우 제어 이득의 존재성에 대한 필요충분조건으로 제시 되었으므로 최적 제어 문제에 활용될 수 있다. Chapter 5-6에서는 chapter 1에서 제시한 bounded real lemma를 이용한 \H_\infty 필터 설계 기법을 소개한다. 특이 마르코브 점프 시스템과 같은 크기(dimension) 및 랭크를 갖는 full-order 필터에 대하여 필터링 오차의 동적 특성을 표현하는 필터 오차 시스템을 구성한다. 필터링 오차를 0으로 제어하는 필터 게인을 설계한다. 필터 오차 시스템을 bounded real lemma에 적용한 조건이 비볼록 조건으로 구성된다. 이 비볼록 조건에 대한 동치 조건을 볼록 형태로 제안하기 위해 chapter 5에서는 congruence transformation을, chapter 6에서는 finsler’s lemma를 사용하였다. 특히 chapter 6의 경우 특이 마르코브 점프 시스템의 확률적 특징을 표현하는 전이 확률 (transition probability)이 불완정한 경우가 함께 고려되었다. Chapter 5,6 모두 필터 이득의 존재성에 대한 필요충분조건이 제시되었으므로, \H_\infty 필터 성능인 \H_\infty performance에 대한 최적 값을 찾을 수 있다. Chapter 7-8에서는 특이 마르코브 점프 시스템의 positive real lemma와 이를 이용한 제어 기법을 다룬다. 기존 연구들이 충분 조건만을 다루어왔던 한계를 보완하기 위해, chapter 7 에서는 positive real lemma의 필요충분 조건을 선형 행렬 부등식의 형태로 제시했다. Chapter 7에 제시 된 선형 행렬 부등식을 통해 시스템 출력-외란의 passivity의 분석이 가능하다. Chapter 8에서는 chapter 7의 결과를 이용한 passivity-based 제어기 설계 기법을 소개한다. 상태 궤환 제어기를 활용한 폐루프 시스템(closed-loop system)의 positive real lemma로부터 제어 이득을 구할 수 있는 선형 행렬 부등식을 제시한다. 결과적으로, 본 연구에서는 특이 마르코브 점프 시스템의 외란에 강인한 제어를 위해 시스템의 외란과 출력 사이의 전달 함수의 특징에 따른 안정성 분석(bounded/positive real lemma) 및 이를 활용한 제어 기법을 소개했다. 두가지 안정성 분석 조건이 모두 필요 충분 조건에 대한 선형 행렬 부등식으로 구성되어 있다. 이를 기반으로 하는 \H_\infty 제어기, \H_\infty 필터 및 passivity-based 제어기의 이득을 구하기 위한 조건 역시 선형 행렬 부등식으로 제안 되었다. 따라서 최적화 문제에 이용 될 수 있고, 제안하는 모든 기법은 수학적 예제를 통해 검증되었다. 또한 본 논문의 부록에 외란을 갖는 특이 마르코브 점프 시스템으로 확장 가능한 두가지 연구가 수록되어 있다. 첫번째 부록은 외란이 존재하지 않는 특이 마르코브 점프 시스템이 입력 포화 현상을 갖는 경우의 동적 상태 궤환 제어기 설계에 대한 연구 결과를 포함하고 있다. 외란과 입력 포화는 시스템 제어에서 흔하게 발생하는 문제이기 때문에, 두 가지 현상을 동시에 다루는 연구 또한 필수적이다. 따라서 chapter 1, 2에서 다뤄진 연구 기법들을 고려하여 첫번째 부록의 경우 보다 일반적인 제어 문제로 확장 연구가 진행될 수 있다. 두번째 부록은 이산 시간 특이 선형 시스템의 bounded real lemma 및 상태 궤환 H_inf 제어 문제를 다룬다. 특이 마르코브 점프 시스템에 대한 연구는 특이 선형 시스템의 연구로부터 진행되므로, 두번째 부록을 확장하여 이산 시간 특이 마르코브 점프 시스템의 상태 궤환 H_inf 제어기 문제에 적용 될 수 있다

Use of Volterra-series inputs to model acid concentration during a steel cooling and pickling process

Master본 연구는 볼테라 시리즈를 입력으로 갖는 가변 필터와 그레이 박스 모델링을 이용하여 냉연 산세라인에서의 산 소모량을 추정한다. 그레이 박스 모델은 알려진 정보인 산세탱크 속 산 용액의 농도, 높이를 포함한 화이트 박스 부분과 구하고자 하는 산 소모량을 포함한 블랙박스로 구성된다. 알고리즘 방법, 메모리 크기, 입력 벡터의 종류 등을 달리하여 다양한 조건에서 시뮬레이션 후, 가장 좋은 성능을 갖는 방법을 택하여 산 소모량 시스템을 추정한다. 볼테라 LS 필터에 cross-term을 갖고 과거 메모리를 갖지 않는 입력을 이용하였을 때 가장 좋은 성능을 보였으며, 모든 시뮬레이션 결과는 이론값과 비교하여 수록되어 있다.This paper uses Volterra series inputs to estimate the acid concentration of a steel pickling process. To estimate the acid concentration, the whole pickling process is represented as a grey box model that consists of a white box to represent the known system and a black box to represent the unknown system. Because the unknown system may include nonlinear terms, the Volterra series is used to estimate the acid concentration. For the white box modeling, the acid tank solution level and concentration equations are used, and for the black box modeling, the acid concentration is estimated using the Volterra Least Mean Squares (LMS) algorithm and Least Squares (LS) algorithm. We simulate the proposed algorithms based on the pickling process data