칸트의 초월적 연역에서 주관적 통일과 지각판단의 문제

이른바 코페르니쿠스적 전회라고 불리는 사유의 운동이 (이하 )의 핵심을 이룬다는 사실은 주지하는 바이다. 칸트는 의 머리말에서 말하기를 이제까지 사람들은 모든 우리의 인식은 대상들을 따라야 한다고 가정해왔으나 이제는 한 번, 대상들이 우리의 인식을 따라야 한다고 가정(BXVI)해보자고 제안한다. 코페르니쿠스가 천문학에서 발상의 전환을 일으켰듯이 말이다. 이러한 초월철학적인 전회는 전체를 관통하여 일관되게 유지되는 칸트의 핵심 사상이다. 그리고 그 중에서도 특히 §15에서 §27에 이르는 초월적 연역이 이러한 사상의 요체를 담고 있다고 볼 수 있다. 초월적 연역에서 칸트는 인간의 자발적인 지성 활동을 통해서만 하나의 대상과 그 대상에 대한 경험이 가능하다는 것을 그리고 더 나아가 자연이 가능하다는 것을 설파한다. 다시 말해 머리말에서 제안했던 것처럼 대상들이 우리의 인식을 따른다는 점을 보여주고 있는 것이다

플라톤의 <소피스트>에서 제기되는 두 가지 주도적 물음과 그 해명

는 플라톤의 후기 저술에 속하는 대화편으로 그 제목에서 알 수 있듯이 소피스트에 관한 논의를 담고 있다. 그러나 한편으로 나 와 같이 주요한 소피스트로서 거론되는 구체적인 인물의 이름이 아니라 그들 모두를 아우르는 소피스 트라는 이름을 그대로 대화편의 제목으로 삼고 있는 점이 특이하다. 이 대화편에서 소크라테스는 단지 긴 대화의 시작점을 마련하는 작은 역할만을 수행하고 있을 뿐이어서 소크라테스가 대화의 중심이 되던 많은 대화편들과 차이를 보인다. 다른 대화편들에서 소크라테스가 수행하던 역할을 에서 대신 수행하는 이는 바로 엘레아에서 온 손님이다. 그리고 엘레아는 바로 파르메니데스와 제논이 이오니아와는 차별화되는 그들만의 이론적 전통을 확립해나간 곳이다

이차체 위의 어떤 보편 형식

Thesis (doctoral)--서울대학교 대학원 :수학과,2000.Docto

리튬 이차 전지용 초미립 주석 산화물계 음극의 전기화학적 특성

학위논문(석사)--서울대학교 대학원 :재료공학부,2002.Maste

Leibniz on Creature's Contingency

학위논문 (석사)-- 서울대학교 대학원 : 인문대학 철학과(서양철학전공), 2018. 8. 이석재.1686년에 쓰인 『형이상학 논고』(이하 『논고』로 약칭) 그리고 이를 바탕으로 진행된 아르노와의 서신 교환은 라이프니츠의 성숙기 형이상학을 살펴볼 수 있는 핵심 문헌들 중 하나로 간주된다. 이 논문의 목표는 위 문헌들에서 라이프니츠가 피조물의 우연성 예컨대 시저가 루비콘을 건너는 것의 우연성을 어떻게 정당화하는지에 관해서 비판적으로 검토하는 데에 있다. 2장에서 나는 라이프니츠에게 피조물의 우연성 문제가 제기되는 배경과 앞으로 해석의 대상이 될 주요 문헌들을 개관하였다. 라이프니츠는 피조물과 관련해서 다음과 같은 반사실적 비-동일성을 받아들인다. 만약 시저의 완전 개체 개념에 포함된 어떠한 술어라도 결여한다면, 그것은 시저가 아니다. 그런데 이로부터 시저가 루비콘을 건너는 것이 필연적이라는 결론이 따라 나오는 것처럼 보인다. 만약 루비콘을 건너지 않는다면, 그것은 시저가 아닐 것이기 때문이다. 이 문제를 해결하기 위해 『논고』 §13에서 라이프니츠는 주어와 술어 사이의 연결이 두 종류라고 주장한다. 첫 번째는 오직 신의 지성에만 의존하는 연결로서 그 반대가 모순을 함축하기 때문에 필연적이다. 이러한 연결은 기하학이나 종(種) 개념과 같은 영원한 진리들에서 발견된다. 두 번째는 신의 자유로운 명령에 의존하는 연결로서 시저의 완전 개체 개념과 루비콘을 건너다 사이의 연결이 이에 해당한다. 이러한 연결은, 신이 명령하는 법칙에 가설적으로는 필연적이지만, 그 반대가 모순을 함축하지 않기 때문에 그 자체로는 우연적이다. 3장에서 나는 기존의 해석으로서 아담스의 견해를 비판적으로 검토하였다. 아담스는 두 가지 가능한 해석을 제시하고 있다. 첫 번째 해석에서 아담스는, 시저가 루비콘을 건너지 않는 것이 시저 자신의 완전 개체 개념에 의해서 배제되는 반사실적 상황이기는 하지만 그럼에도 우리는 그러한 배제가 시저의 원초적 힘에 의한 것인지 아니면 신의 지혜와 선함에 의한 것인지를 다시금 물을 수 있다고 주장한다. 만약 시저가 루비콘을 건너지 않는 것이 오직 신의 지혜와 선함에 의존함으로써 불가능한 것이라면, 우리는 이러한 반사실적 상황이 그 자체로 모순을 함축한다고 말할 수는 없을 것이다. 그런데 아담스에 따르면, 시저의 원초적 힘만으로 충분히 배제되지 않는 두 가지 종류의 반사실적 상황이 발견된다. 시저의 지각은 다른 피조물의 지각과 조화롭게 상응하지 않을 수 있었으며(관계의 우연성) 또한 시저는 존재하지 않을 수 있었다.(존재의 우연성) 문제는 과연 이러한 종류의 우연성이 시저가 루비콘을 건너는 것의 우연성을 적절하게 설명해줄 수 있느냐 하는 점이다. 우선 나는 피조물의 우연성을 확보하려는 동기에 주목한다. 라이프니츠는 피조물의 행위를 도덕적으로 평가하기 위한 기본 전제인 자유를 확보한다는 취지에서 피조물의 우연성을 주장한다. 그렇기에 라이프니츠의 관심사는 기본적으로 자발적인 행위의 우연성을 설명하는 데에 있다. 그런데 피조물이 특정 지각을 갖는 것은 그의 자발적인 행위에 해당하지만, 그의 지각이 다른 피조물의 지각과 조화롭게 상응하는 것은 자발적인 행위에 해당하지 않는다. 이러한 견지에서 볼 때 관계의 우연성은 논의와 무관하다는 점이 확인된다. 왜냐하면 시저가 루비콘을 건너는 내용의 특정 지각을 갖는다고 전제할 때, 그 지각이 다른 피조물의 지각과 조화롭게 상응하는 지의 여부가 우연적이라는 설명은 시저가 이 특정 지각을 갖는 것 자체의 우연성과 관련해서는 전혀 알려주는 바가 없기 때문이다. 반면에 존재의 우연성은 시저가 특정 지각을 갖는 것 자체의 우연성과 유관한 설명을 제공해주기는 한다. 왜냐하면 시저가 특정 지각을 갖기 위해서는 일단 그가 존재해야 하기 때문이다. 그러므로 만약 시저가 존재하는 것이 우연적이라면, 시저가 루비콘을 건너는 지각을 갖는 것 또한, 어떤 의미에서는, 우연적이다. 그러나 나는 다음과 같은 두 가지 관찰에 근거해서 존재의 우연성 역시 지금 우리가 주목하는 피조물의 우연성을 설명해줄 수 없다고 생각한다. 첫 번째로 라이프니츠가 설명하고자 하는 것은, 단지 시저가 루비콘을 건너는 것의 우연성이 아니라, 시저가 신에 의해서 창조된다는 가정 하에서 루비콘을 건너는 것의 우연성에 해당한다. 라이프니츠가 분명한 언어로 말하듯이, 신의 자유로운 명령이 전제되지 않고서는, 시저가 창조된다는 가정으로부터 그가 루비콘을 건넌다는 결론이 따라 나오지 않는다. 두 번째로 나는 라이프니츠의 이른바 일반적인 관점 전략에 주목한다. 이에 따르면 시저가 속한 인간종의 개념으로부터 함축되는 술어들 그리고 오직 이러한 술어들만이 시저의 본질적 술어에 해당하며, 시저와 본질적 술어들 사이의 연결은 신의 자유로운 명령에 의존하지 않는다. 그런데 존재의 우연성을 통해서는 라이프니츠가 강조하는 본질적 술어와 우연적 술어의 이러한 구분을 설명할 수 없다. 왜냐하면 본질적 술어이든 우연적 술어이든 해당 개체가 존재하지 않고서는 그 개체에게 참되게 귀속될 수 없다는 점에서 마찬가지이기 때문이다. 두 번째 해석에서 아담스는 라이프니츠의 무한 분석 이론을 사용한다. 나는 무한 분석 이론에 근거해서 시저가 루비콘을 건너는 것의 우연성을 설명할 수 있다는 주장 자체에는 어느 정도 동의한다. 그러나 나는 두 번째 해석 또한 『논고』 및 서신 교환에 대한 올바른 이해를 제공할 수 없다고 생각한다. 왜냐하면 이 문헌들에서 라이프니츠가 무한 분석 이론을 사용하고 있다고 볼 근거가 없을 뿐만 아니라 심지어 때로는 무한 분석 이론과 명백하게 충돌하는 서술들이 발견되기 때문이다. 나는 이러한 관찰들을 통해서, 라이프니츠가 『논고』 §13 및 관련 서신에서 제시하는 논거들이 무한 분석 이론의 논거들과는 구분되는 독자적인 것이라는 주장을 뒷받침할 수 있다고 생각한다. 4장에서 나는 『논고』 및 서신 교환을 이해하는 대안적 해석을 제안하였다. 우선 나는 서신의 다음과 같은 서술에 주목한다. 다수의 아담들에 대해 말할 때, 나는 아담을…일반적인 관점에서의 정황들에서 생각되는 어느 한 개인으로 고려하던 것이었다. 신이 기쁨의 정원에 살게 하였으나 죄로 인해서 떠나게 된 최초의 인간 그리고 신이 그의 늑골로부터 여성을 이끌어 낸 최초의 인간으로 아담을 이해할 때처럼 말이다.…이런 방식으로는 이 모든 것들이 들어맞는 서로 구별되는 다수의 가능한 아담들이 있을 터이다. 이를 통해서 확인할 수 있듯이 때때로 라이프니츠는 개체의 이름을 통해서 단지 몇 가지 일반적 정황들을 이해하곤 한다. 라이프니츠가 지적하듯이 이러한 일반적 정황들만으로는 그의 모든 미래가 확실하게 결정되지 않는다. 그렇기에 라이프니츠는 이러한 이해 방식을으로는 무한한 수의 가능한 아담들이 있게 된다고 설명한다. 동일선상의 어느 다른 서술에서 라이프니츠는 피조물에 대한 반사실적 조건문을 묻는 맥락에서 이와 같은 이해 방식이 허용된다고 말한다. 만약 시저가 루비콘을 건너는 것의 우연성을 탐구하는 맥락에서도 이러한 이해 방식이 허용된다면, 마찬가지로 우리는 각양각색의 미래로 뻗어나가는 무한한 수의 가능한 시저들을 얻게 될 것이다. 이제 나는 이러한 무한한 수의 가능한 시저들을 통해서 우리 세계의 바로 그 시저에 대한 양상 판단을 정당화할 수 있다고 주장한다. 다시 말해서 나는, 시저와 충분히 닮았지만 동일하지는 않은 시저의 상대역들에 의거해서 시저에 대한 양상 판단의 참·거짓을 결정하는 상대역 이론을 라이프니츠 해석으로서 받아들이고자 한다. 나는 앞서 살펴본 여타의 해석들이 매끄럽게 풀이하지 못한 『논고』 §13 및 관련 서신의 우연성 주장을 상대역 이론을 통해서 일관적으로 그리고 자연스럽게 풀이할 수 있다는 점을 보여줌으로써 상대역 이론의 적용을 정당화하고자 했다. 만약 상대역 이론을 받아들인다면, 시저가 루비콘을 건너는 것이 그 자체로 우연적이라는 주장은 비교적 수월하게 풀이된다. 만약 시저의 상대역들 중에 루비콘을 건너지 않는 상대역이 있다면 그에 의거해서 시저가 루비콘을 건너지 않을 수 있었다는 양상 판단이 참이 될 것이기 때문이다. 그리고 시저가 루비콘을 건넌다.는 문장의 참이 신의 자유로운 명령에 의존한다는 사실로부터 이 문장의 참을 우연적으로 만들어주는 상대역이 존재한다는 것이 함축된다. 라이프니츠는 신의 자유로운 명령에 의존하는 참이 우연적인 까닭을 설명하면서 다음과 같이 적는다. 왜냐하면 이러한 명령들은 사물들의 가능성을 변화시키지 않기 때문이다. 그리고…덜 완전한 것이 그 자체로 가능하게 남아 있는 것을 막지는 않기 때문이다. 비록 그것이 일어나지 않는다고 해도 말이다. 왜냐하면 그것이 거부되도록 만드는 것은 그것의 불완전성이지 불가능성이 아니기 때문이다. 그리고 반대가 가능한 어떤 것도 필연적이지 않다. 이처럼, 최선의 세계와 대비되는 의미에서, 덜 완전한 세계들이 그 자체로 가능하게 남아 있다는 사실은 곧 그 세계들 내에 거주하는 시저의 상대역들이 그 자체로 가능하게 남아 있다는 사실을 함축한다. 그러므로 이제 우리는 시저가 루비콘을 건너는 것과 관련해서 그 반대가 모순을 함축하지 않는다.는 문장의 의미를 다음과 같이 풀이할 수 있다. 여기에서 반대는 시저의 상대역이 루비콘 앞에 당도하였으나 결국 루비콘을 건너지 않는다는 것을 뜻한다. 그리고 이러한 반대가 모순을 함축하지 않는다.는 말은 곧 이러한 상대역이 포함된 세계가 그 자체로 가능하게 남아 있다는 것을 뜻한다. 시저가 속한 인간종의 개념으로부터 함축되는 술어 예컨대 사유 가능하다와 같은 술어들이 시저의 본질적인 술어에 해당한다는, 일반적인 관점 전략의 주장 역시 상대역 이론을 통해서 자연스럽게 풀이할 수 있다. 우선 첫 번째로, 인간종의 개념으로부터 사유 가능하다라는 술어가 도출되는 것은, 신의 자유로운 명령에 의존하는 것이 아니라 단지 신의 지성에 의해서 파악될 뿐인, 순전한 개념적 참이다. 그렇기에 무한한 수의 완전 개체 개념들 중 그 어느 것도 사람이다를 포함하면서 사유 가능하다를 결여하지 않는다. 두 번째로, 인간 종에 속해야 한다는 조건은 어느 맥락이건 그리고 어느 대상이건 간에 그것이 도대체 시저의 상대역이 되기 위해서는 반드시 만족해야 하는 최소한의 유사성 기준으로 이해된다. 그러므로 시저의 모든 상대역은, 그들이 세부적으로 시저와 어느 정도의 유사성을 갖는지 상관없이, 모두 인간이어야만 한다. 이제 시저의 모든 상대역들이 공유하는 술어가 곧 시저의 본질적 술어라는 상대역 이론의 주장을 받아들인다면 일반적인 관점 전략의 주장을 이해할 수 있게 된다. 마지막으로 5장에서는 나의 해석에 제기될 수 있는 한 가지 반론을 고려하였다. 윌슨과 아담스는 상대역 이론을 통해서 신의 우연성을 설명할 수는 없다는 점을 지적한다. 이들의 문제제기가 옳다면 우리는 다음의 두 가지 사실을 확인하게 된다. 첫 번째로 상대역 이론은 라이프니츠 철학 내에서 데 레 양상 일반을 설명하는 이론이 될 수는 없다. 두 번째로 신의 우연성을 묻는 맥락과 피조물의 우연성을 묻는 맥락을 구분해서 별도의 설명을 제공하고자 한다면, 그렇게 구분하는 임의적이지 않은 이유가 필요하다. 이에 대해서 나는 라이프니츠가 과연 신과 피조물의 우연성을 하나의 동일한 이론으로 설명하려는 의도를 가졌는지 의심스럽다는 점을 주장했다. 그리고 라이프니츠가 신과 피조물의 우연성을 별개의 논점으로 구분할 수 있는 합리적인 이유를 제공하고자 했다. 우선 라이프니츠는 단지 우연적 존재인 피조물과 달리 필연적 존재자로서의 신은 반사실적 동일성을 갖는다는 점에서 이 둘을 구분할 수 있다. 만약 신에게 반사실적 동일성이 인정된다면 신에게 상대역 이론을 적용하는 동기 자체가 구성되지 않는다. 또한 라이프니츠는 세계 내에서 직접적으로 마주칠 수 있는 여타의 익숙한 피조물들과 달리 신은 세계 내에서 마주칠 수 없는 우리의 이해를 넘어서는 존재라는 점에서 이 둘을 구분할 수 있다. 물론 아직 남은 문제들이 있다. 특히 이 논문에서 나는 1686년의 『논고』 및 서신 교환으로 탐구의 범위를 제한하고 있기 때문에 과연 이 논문의 해석이 라이프니츠의 전체적인 그리고 최종적인 입장으로 확장될 수 있는지의 물음이 제기될 수 있다. 이는 자연스럽게 향후의 과제로 남겨놓도록 한다.1. 들어가며 1 2. 논의의 배경: 예비적 논의와 문헌 소개 5 2.1. 예비적 논의 5 2.1.1. 신 그리고 최선의 세계 5 2.1.2. 완전 개체 개념 10 2.1.3. 반사실적 비-동일성과 피조물의 자유 14 2.2. 해석의 대상이 되는 문헌: 『형이상학 논고』 §13과 아르노와의 서신 교환 20 2.2.1. 『형이상학 논고』 §13 20 2.2.2. 아르노의 비판 23 2.2.3. 라이프니츠의 응답 26 3. 기존의 해석에 대한 비판적 검토 28 3.1. 첫 번째 해석에 대한 비판적 검토 28 3.1.1. 해석의 소개 28 3.1.1.1. 가설적 필연성 28 3.1.1.2. 피조물의 원초적 힘 32 3.1.2. 비판적 검토 41 3.1.2.1. 관계의 우연성 41 3.1.2.2. 존재의 우연성 49 3.2. 두 번째 해석에 대한 비판적 검토 61 3.2.1. 무한 분석 이론 61 3.2.2. 문헌 해석의 문제 64 4. 대안적인 해석의 제안 68 4.1. 법칙의 필연성 68 4.2. 가능한 시저들 75 4.3. 새롭게 이해된 가설적 필연성 91 5. 몇 가지 고려들 105 5.1. 가능한 신들 105 5.2. 가능한 고려들 109 6. 나가며 120 참고 문헌 122 Abstract 127Maste

Electrochemical characteristics of si-based composite anode materials for lithium rechargeable batteries

학위논문(박사)--서울대학교 대학원 :재료공학부,2006.Docto

체육교육과정에 대한 교사의 관심도와 활용도 연구

학위논문(석사)--서울대학교 대학원 :체육교육과,1997.Maste

Prediction of characteristics on thermo-acoustic oscillation in a ducted combustor

학위논문(박사)--서울대학교 대학원 :항공우주공학과,1998.Docto

(2+1)-차원 중력의 고찰

Thesis (master`s)--서울대학교 대학원 :물리학과,1996.Maste

중학교 1학년 수와 연산 영역을 중심으로

학위논문(석사)--서울대학교 대학원 :사범대학 수학교육과,2020. 2. 권오남.Textbooks serve as a means of ensuring that the intent of a curriculum is well achieved in the classroom. In this regard, mathematical tasks are very important for stimulating students curiosity and eliciting their participation. In particular, the tasks presented in the number and operation strand during the first grade of middle school are the bases for learning mathematics in the future. It is also necessary to present good tasks because students may have difficulties learning algebra if they only deal with procedural tasks. However, few studies have been conducted to investigate the characteristics of the tasks in the number and operation strand. On the other hand, many researchers have compared the tasks by dividing their levels of cognitive demands into Memorization (M), Procedures Without Connections (PNC), Procedures With Connections (PWC) and Doing Mathematics (DM) to elicit implications for the mathematical tasks. Previous studies have pointed out that Korean textbooks consist of tasks with low levels (M, PNC) of cognitive demands. Hence, some researchers have suggested that the tasks with high levels (PWC, DM) of cognitive demands should be presented to students. In order to see whether the above discussions are valid or not in the number and operation tasks, this study compared the tasks in middle school mathematics textbooks used in Korea with those used in India, Finland, and Australia. The purpose of this work is to propose implications for the tasks in mathematics textbooks, focusing on the number and operation strand. For this study, the tasks in two Korean textbooks, one Indian textbook, one Finnish textbook and one Australian Textbook were analyzed for two months starting in September 2019 to investigate the levels of cognitive demands. In addition, considering the potential impact of the tasks in the number and operation strand on learning algebra, algebraic thinking required in those tasks was compared for each level of cognitive demands. The results show that first, the proportion of the M tasks is higher in the Korean textbooks than those in other countries. This is because tasks of filling empty spaces, which have students memorize mathematical concepts, are presented in each chapter in Korean textbooks. Second, the PNC and PWC tasks account for more than 80 percent of the entire tasks in the four countries textbooks. This is attributed to the fact that there are many arithmetic tasks that use algorithms or specific procedures. Here, the proportion of the PWC tasks is the highest in the Australian textbook. This reflects the trend of Australian education that stresses a complex problem-solving process because of the concern about the syndrome of shallow teaching. Third, the proportion of the DM tasks is the highest in Indian textbook. This results from many tasks that require the observation and generalization of patterns to reflect the intent of the Indian curriculum. With respect to algebraic thinking, the textbooks of the four countries commonly present tasks related to expanding the concept of numbers and performing basic mathematical operations of rational numbers. Although the types of mathematical operations are more variable in Korean textbooks compared to other countries, differences between the two Korean textbooks are not noticeable. This is because the tasks in Korean textbooks should comply with the achievement standards in the curriculum. The Australian textbook presents high-level arithmetic tasks that require algebraic explanation of patterns. This relates to the Australian curriculum that emphasizes the extension and application of the laws and properties of arithmetic to algebraic terms and expressions. The Indian textbook, at all levels of cognitive demands, presents tasks which require students to infer the fundamental properties. This is based on the Indian curriculum that emphasizes observing patterns and learning through generalization. The Finnish textbook presents tasks that arouse curiosity and promote creative thinking. This relates to the Finnish curriculum that encourages students to present and discuss their own ideas with others. Specific types of mathematical tasks that can support algebraic thinking include: First, the M tasks provide opportunities to comprehensively understand the arithmetic structure or basic mathematical operations in the number systems. Second, the PNC tasks support the understanding of equivalence relationships through a relational understanding of given quantities. They may also support functional thinking through negative numbers or mathematical sequence tasks. Third, the PWC tasks help students to be good at arithmetic calculations by suggesting real-life situations and to improve their understanding of the equivalence relationships. They also support functional thinking by enabling students to find patterns in given quantities. Fourth, the DM tasks support students functional thinking by presenting tasks which require covariational reasoning. This study, focused on the number and operation strand, provided information on tasks that support understanding algebra and investigated the relationships between the characteristics of textbooks and the curriculum. Thus, it is expected that this study will be able to offer some suggestions for number and operation tasks and for curriculum.교과서는 교육과정의 의도가 교실에서 잘 실현될 수 있도록 하는 수단이다. 이러한 점에서 수학 과제는 학생들의 호기심을 자극하고 참여를 이끌어내는 데 중요한 역할을 한다. 특히 중학교 1학년 학생들이 배우는 수와 연산 영역의 과제는 이후 수학 학습의 바탕이 된다. 학생들이 사칙계산의 숙달에 대한 문제만을 다룬다면 대수 학습에서 어려움을 겪을 수 있으므로 적절한 과제를 구성할 필요가 있다. 그러나 아직까지 우리나라 교과서에 제시되는 수와 연산 과제의 특성을 면밀히 검토한 연구는 드문 실정이다. 한편, 다수의 연구자들은 수학 과제에 대한 시사점을 도출하기 위해 과제의 인지적 노력수준을 Memorization (M), Procedures Without Connections (PNC), Procedures With Connections (PWC), Doing Mathematics (DM)로 나누어 과제를 비교하였다. 선행연구에서는 우리나라 수학 교과서가 낮은 인지적 노력수준의 과제(M, PNC)에 편중되어 있음을 보여주었다. 이에 연구자들은 높은 인지적 노력수준의 과제(PWC, DM)를 학생들에게 제시할 필요가 있다고 하였다. 이러한 논의가 수와 연산 과제에서도 타당한 것인지 살펴보기 위해 본 연구에서도 수학 과제를 비교함으로써 시사점을 도출하고자 하였다. 비교 대상 국가로 인도, 핀란드, 호주를 선정하였으며, 우리나라 교과서 2종, 인도 교과서 1종, 핀란드 교과서 1종, 호주 교과서 1종을 선택하여 2019년 9월부터 2개월 동안 인지적 노력수준을 분석하였다. 또한 수와 연산 영역의 과제가 향후 대수 학습에 미칠 수 있는 영향을 고려하여 수학 과제가 지원할 수 있는 대수적 사고를 비교하였다. 수학 과제의 인지적 노력수준을 비교한 결과 첫째, M 과제의 비율은 다른 나라의 교과서보다 우리나라 교과서에서 가장 높다. 그 이유는 우리나라 교과서에 수학 개념을 확인할 수 있는 빈칸 채우기 문제가 단원별로 제시되기 때문이다. 둘째, 네 국가의 교과서에는 공통적으로 PNC, PWC 과제가 전체에서 80% 이상을 차지하고 있다. 그 이유는 특정한 절차나 알고리즘을 사용하는 산술 과제가 많기 때문이다. 여기서 PWC 과제의 비율은 호주 교과서에서 가장 높다. 이는 얕은 가르침을 염려하여 복잡한 문제해결 과정을 강조하는 호주 교육의 동향을 반영한 것이다. 셋째, DM 과제의 비율은 인도 교과서에서 가장 높다. 이는 인도 교육과정의 영향으로 패턴의 관찰과 일반화를 요구하는 과제가 많기 때문이다. 대수적 사고와 관련하여 네 국가의 교과서는 공통적으로 수 체계의 확장, 연산의 기본성질과 계산 과제를 제시한다. 여기서 우리나라의 경우 비교 국가의 교과서보다 산술 계산을 활용한 문제가 다양하다는 특징이 있으나, 교과서 2종간의 차이는 크지 않다. 주로 교육과정의 성취기준을 준수하여 제작된 산술 계산 문제들이기 때문이다. 호주의 경우 패턴을 대수적으로 설명할 수 있는 고난도 과제를 제시한다는 특징이 있다. 이는 산술의 법칙이나 성질을 대수적 용어나 기호로 확장하고 적용하는 것을 강조한 호주 교육과정의 내용과 관련된 것이다. 인도의 경우 모든 인지적 노력수준에서 연산의 기본성질에 대해 추론할 수 있는 과제를 제시한다. 이는 패턴의 관찰과 일반화를 통한 학습을 강조한 인도 교육과정에 근거한다. 핀란드의 경우 흥미를 유도하고 창의적인 사고를 촉진시킬 수 있는 과제를 제시한다. 이는 사고 과정을 다른 사람에게 표현하는 것을 강조한 핀란드 교육과정에 근거한 활동이라고 볼 수 있다. 대수적 사고를 지원할 수 있는 유형을 좀 더 구체적으로 살펴보면 다음과 같다. 첫째, M 과제는 학습한 수 체계 내에서 산술식의 구조나 원리를 통합적으로 이해할 수 있는 기회를 제공할 수 있다. 둘째, PNC 과제는 주어진 양들을 관계적으로 이해하고 동치관계에 대한 이해를 지원할 수 있다. 또한 음수 계산이나 수열 문제를 통해 함수적 사고를 지원할 수 있다. 셋째, PWC 과제는 실생활 문제를 통해 산술 계산에 능숙해질 수 있고, 동치관계에 대한 이해를 지원할 수 있다. 또한 양 사이의 관계에서 패턴이나 규칙을 찾음으로써 함수적 사고를 지원할 수 있다. 넷째, DM 과제는 공변추론을 활용하여 함수적 사고를 지원할 수 있다. 본 연구는 향후 대수 학습에 대한 이해를 지원할 수 있는 수와 연산 영역의 과제에 대한 정보를 제공하였다. 그리고 교과서 과제의 특징과 교육과정의 관계를 탐색하였다. 따라서 수와 연산 영역의 과제와 교육과정에 대한 시사점을 제공할 수 있을 것으로 기대된다.I. 서론 1 1. 연구의 필요성 1 2. 연구의 목적 및 연구 문제 4 II. 문헌 검토 6 1. 수학 교과서와 수학과 교육과정 6 1.1. 수학 교과서 비교의 의의 6 1.2. 교육과정과 교과서 9 2. 인지적 노력수준 20 2.1. 인지적 노력수준의 의미 20 2.2. 과제의 인지적 노력수준을 분석한 선행연구 22 3. 대수적 사고 24 III. 연구 방법 31 1. 연구 대상 31 2. 분석 기준 34 3. 분석 절차 40 IV. 연구 결과 43 1. 수학 과제의 인지적 노력수준 비교 43 2. 수학 과제의 대수적 사고 비교 48 2.1. 우리나라, 인도, 핀란드, 호주 교과서 과제의 특징 48 2.2. M 과제에서의 대수적 사고 55 2.3. PNC 과제에서의 대수적 사고 58 2.4. PWC 과제에서의 대수적 사고 64 2.5. DM 과제에서의 대수적 사고 71 V. 결론 80 1. 요약 80 2. 논의 및 시사점 84 3. 연구의 한계 및 제언 87 참고문헌 89 Abstract 98Maste