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Contributions to robust and bilevel optimization models for decision-making
Los problemas de optimizaci贸n combinatorios han sido ampliamente estudiados en la
literatura especializada desde mediados del siglo pasado. No obstante, en las 煤ltimas
d茅cadas ha habido un cambio de paradigma en el tratamiento de problemas cada vez
m谩s realistas, en los que se incluyen fuentes de aleatoriedad e incertidumbre en los
datos, m煤ltiples criterios de optimizaci贸n y m煤ltiples niveles de decisi贸n. Esta tesis
se desarrolla en este contexto. El objetivo principal de la misma es el de construir
modelos de optimizaci贸n que incorporen aspectos inciertos en los par谩metros que
de nen el problema as铆 como el desarrollo de modelos que incluyan m煤ltiples niveles
de decisi贸n. Para dar respuesta a problemas con incertidumbre usaremos los modelos
Minmax Regret de Optimizaci贸n Robusta, mientras que las situaciones con m煤ltiples
decisiones secuenciales ser谩n analizadas usando Optimizaci贸n Binivel.
En los Cap铆tulos 2, 3 y 4 se estudian diferentes problemas de decisi贸n bajo incertidumbre
a los que se dar谩 una soluci贸n robusta que proteja al decisor minimizando
el m谩ximo regret en el que puede incurrir. El criterio minmax regret analiza el comportamiento
del modelo bajo distintos escenarios posibles, comparando su e ciencia
con la e ciencia 贸ptima bajo cada escenario factible. El resultado es una soluci贸n con
una eviciencia lo m谩s pr贸xima posible a la 贸ptima en el conjunto de las posibles realizaciones
de los par谩metros desconocidos. En el Cap铆tulo 2 se estudia un problema de
dise帽o de redes en el que los costes, los pares proveedor-cliente y las demandas pueden
ser inciertos, y adem谩s se utilizan poliedros para modelar la incertidumbre, permitiendo
de este modo relaciones de dependencia entre los par谩metros. En el Cap铆tulo
3 se proponen, en el contexto de la secuenciaci贸n de tareas o la computaci贸n grid,
versiones del problema del camino m谩s corto y del problema del viajante de comercio
en el que el coste de recorrer un arco depende de la posici贸n que este ocupa en el
camino, y adem谩s algunos de los par谩metros que de nen esta funci贸n de costes son
inciertos. La combinaci贸n de la dependencia en los costes y la incertidumbre en los
par谩metros da lugar a dependencias entre los par谩metros desconocidos, que obliga a
modelar los posibles escenarios usando conjuntos m谩s generales que los hipercubos,
habitualmente utilizados en este contexto. En este cap铆tulo, usaremos poliedros generales
para este cometido. Para analizar este primer bloque de aplicaciones, en el Cap铆tulo 4, se analiza un modelo de optimizaci贸n en el que el conjunto de posibles
escenarios puede ser alterado mediante la realizaci贸n de inversiones en el sistema.
En los problemas estudiados en este primer bloque, cada decisi贸n factible es evaluada
en base a la reacci贸n m谩s desfavorable que pueda darse en el sistema. En los
Cap铆tulos 5 y 6 seguiremos usando esta idea pero ahora se supondr谩 que esa reacci贸n
a la decisi贸n factible inicial est谩 en manos de un adversario o follower. Estos dos
cap铆tulos se centran en el estudio de diferentes modelos binivel. La Optimizaci贸n
Binivel aborda problemas en los que existen dos niveles de decisi贸n, con diferentes
decisores en cada uno ellos y la decisi贸n se toma de manera jer谩rquica. En concreto,
en el Cap铆tulo 5 se estudian distintos modelos de jaci贸n de precios en el contexto
de selecci贸n de carteras de valores, en los que el intermediario nanciero, que se
convierte en decisor, debe jar los costes de invertir en determinados activos y el
inversor debe seleccionar su cartera de acuerdo a distintos criterios. Finalmente, en
el Cap铆tulo 6 se estudia un problema de localizaci贸n en el que hay distintos decisores,
con intereses contrapuestos, que deben determinar secuencialmente la ubicaci贸n de
distintas localizaciones. Este modelo de localizaci贸n binivel se puede aplicar en contextos
como la localizaci贸n de servicios no deseados o peligrosos (plantas de reciclaje,
centrales t茅rmicas, etc茅tera) o en problemas de ataque-defensa.
Todos estos modelos se abordan mediante el uso de t茅cnicas de Programaci贸n
Matem谩tica. De cada uno de ellos se analizan algunas de sus propiedades y se desarrollan
formulaciones y algoritmos, que son examinados tambi茅n desde el punto de
vista computacional. Adem谩s, se justica la validez de los modelos desde un enfoque
de las aplicaciones pr谩cticas. Los modelos presentados en esta tesis comparten la
peculiaridad de requerir resolver distintos problemas de optimizaci贸n encajados.Combinatorial optimization problems have been extensively studied in the specialized
literature since the mid-twentieth century. However, in recent decades, there
has been a paradigm shift to the treatment of ever more realistic problems, which
include sources of randomness and uncertainty in the data, multiple optimization
criteria and multiple levels of decision. This thesis concerns the development of such
concepts. Our objective is to study optimization models that incorporate uncertainty
elements in the parameters de ning the model, as well as the development of
optimization models integrating multiple decision levels. In order to consider problems
under uncertainty, we use Minmax Regret models from Robust Optimization;
whereas the multiplicity and hierarchy in the decision levels is addressed using Bilevel
Optimization.
In Chapters 2, 3 and 4, we study di erent decision problems under uncertainty
to which we give a robust solution that protects the decision-maker minimizing the
maximum regret that may occur. This robust criterion analyzes the performance
of the system under multiple possible scenarios, comparing its e ciency with the
optimum one under each feasible scenario. We obtain, as a result, a solution whose
e ciency is as close as possible to the optimal one in the set of feasible realizations
of the uncertain parameters. In Chapter 2, we study a network design problem in
which the costs, the pairs supplier-customer, and the demands can take uncertain
values. Furthermore, the uncertainty in the parameters is modeled via polyhedral
sets, thereby allowing relationships among the uncertain parameters. In Chapter
3, we propose time-dependent versions of the shortest path and traveling salesman
problems in which the costs of traversing an arc depends on the relative position
that the arc occupies in the path. Moreover, we assume that some of the parameters
de ning these costs can be uncertain. These models can be applied in the context of
task sequencing or grid computing. The incorporation of time-dependencies together
with uncertainties in the parameters gives rise to dependencies among the uncertain
parameters, which require modeling the possible scenarios using more general sets
than hypercubes, normally used in this context. In this chapter, we use general
polyhedral sets with this purpose. To nalize this rst block of applications, in Chapter 4, we analyze an optimization model in which the set of possible scenarios
can be modi ed by making some investments in the system.
In the problems studied in this rst block, each feasible decision is evaluated
based on the most unfavorable possible reaction of the system. In Chapters 5 and
6, we will still follow this idea, but assuming that the reaction to the initial feasible
decision will be held by a follower or an adversary, instead of assuming the most
unfavorable one. These two chapters are focused on the study of some bilevel models.
Bilevel Optimization addresses optimization problems with multiple decision
levels, di erent decision-makers in each level and a hierarchical decision order. In
particular, in Chapter 5, we study some price setting problems in the context of
portfolio selection. In these problems, the nancial intermediary becomes a decisionmaker
and sets the transaction costs for investing in some securities, and the investor
chooses her portfolio according to di erent criteria. Finally, in Chapter 6, we study
a location problem with several decision-makers and opposite interests, that must
set, sequentially, some location points. This bilevel location model can be applied
in practical applications such as the location of semi-obnoxious facilities (power or
electricity plants, waste dumps, etc.) or interdiction problems.
All these models are stated from a Mathematical Programming perspective, analyzing
their properties and developing formulations and algorithms, that are tested
from a computational point of view. Furthermore, we pay special attention to justifying
the validity of the models from the practical applications point of view. The
models presented in this thesis share the characteristic of involving the resolution of
nested optimization problems.Premio Extraordinario de Doctorado U