Volterra based recursive structures for modelling and equalization of nonlinear systems

Die Volterra-Reihenentwicklung ist ein weitverbreitetes Verfahren zur Darstellung nichtlinearer Systeme. Trotz ihrer theoretisch guten Eigenschaften wird eine gravierende Schwäche deutlich: Für große Gedächtnislängen und hohe Ordnungen der Nichtlinearitäten steigt der Rechenaufwand dieser Strukturen überproportional an. Zudem sind in der klassischen Volterra-Struktur keine Rückkopplungen von Systemausgängen vorgesehen, die jedoch den Eigenschaften vieler realer physischer Systeme zu Grunde liegen. Mit Hilfe von linearen ARMA-Filtern und Multiplizierern wird eine Systemstruktur als aufwandsarme Näherung an das Volterra-System realisiert, die ARMA-Mehrfachkaskade (ARMA-MK), die insbesondere für große Gedächtnislängen ein hohes Maß an Einsparungen bewirkt. Dabei wird die Struktur für Nichtlinearitäten bis zur 3. Ordnung realisiert und ein einfacher Weg zur Implementierung höherer nichtlinearer Ordnungen aufgezeigt. Die Komplexität bei der Filterung ist vergleichbar mit der von linearen Systemen. Zudem werden in dieser Arbeit nichtlineare Strukturen untersucht, bei denen sich Volterra-Systeme oder deren Näherungen in Rückkopplungszweigen befinden. Dabei zeigt sich, dass trotz theoretisch unendlicher nichtlinearer Ordnungen die Freiheitsgrade des Systems begrenzt sind. Der Einsatz in der Modellierung ist insbesondere dann günstig, wenn sich die physikalischen Gegebenheiten eines Systems und die Modellstruktur entsprechen. Zur Bestimmung notwendiger Koeffizientensätze werden mehrere Verfahren für die ARMA-MK-Struktur und für die rückgekoppelten nichtlinearen Systeme hergeleitet. Der Aufwand für die vorgestellten Adaptionsalgorithmen ist bei den Näherungsstrukturen wiederum deutlich geringer als bei entsprechenden Systemen mit herkömmlichen Volterra-Strukturen. Neben der Modellierung werden auch mögliche Einsatzformen der behandelten Systeme in der Kompensation nichtlinearer Verzerrungen untersucht, wobei zwischen Prä- oder Post-Kompensation und vollständiger Entzerrung oder Linearisierung unterschieden wird. Die entsprechenden Strukturen werden dabei theoretisch auf Basis als bekannt angenommener Übertragungsfunktionen hergeleitet. Anschließend werden Algorithmen vorgestellt, die nur auf der Kenntnis von Ein- und Ausgangssignalen basieren. Während im linearen Fall die Inversion von Systemen durch ein Vertauschen von transversalem und rekursiven Teil sehr einfach ist, bereitet dies im nichtlinearen Fall größere Probleme. Dennoch wird im Rahmen dieser Arbeit ein rekursiver nichtlinearer Entzerrer entwickelt, der, basierend auf einem nichtlinearen Prädiktor, transversale Volterra- und MK-Strukturen invertieren kann. Wie bei allen rekursiven Systemen müssen auch hier Stabilitätsbedingungen berücksichtigt werden. Mittlerweile liegt eine Vielzahl von verfügbaren Strukturen bzw. Verfahren für die Modellierung, Entzerrung und Linearisierung nichtlinearer Systeme vor. Um einen Anhaltspunkt für die Wahl der richtigen Verfahren bei der Behandlung solcher Problemstellungen zu geben, werden Entscheidungskriterien in Form von Ablaufschemata erarbeitet, an denen man seine Vorgehensweise orientieren kann. Der praktische Nutzen dieser Ergebnisse wird durch zwei Anwendungsbeispiele verifiziert und untermauert.The Volterra-series expansion is a well known method for representing nonlinear systems. Though having good theoretical capabilities it is insufficient for higher memory lengths and nonlinear orders. Furthermore the classical Volterra-structure has no recursive elements, on which many real life systems are based on. An efficient approximation to an 3rd order nonlinear Volterra-system is developed using linear ARMA-filters and multipliers, called ARMA multi-memory-decomposition (MMD-ARMA), which is especially designed for long memories. The complexity is comparable to linear filtering. An easy way for implementing higher order nonlinearities based on this approximation scheme is also shown. Additionally this work examines structures where Volterra-filters or their approximations are placed in recursive branches. Though having an infinite order of nonlinearity it shows that the degree of freedom is quite limited. The use in modelling is particularly advisable if system structure and real life model match exactly. Several methods for determination of coefficients for the MMD-ARMA-structure and for the recursive nonlinear structures are deduced. The effort of the proposed algorithms for the approximation-structures is always obviously smaller than the respective one for classical Volterra-structures. In addition to modelling also the compensation of nonlinear distortions is surveyed, distinguished by pre- or post-compensation and full equalization or linearization of unwanted distortions. Structures are presented both based on known nonlinear transfer functions and on input-output-signal sets. Whereas inversion of an system by changing moving-average and autoregressive part in the linear case is easily done, nonlinear systems need more sophisticated methods. This work presents a nonlinear equalization of Volterra-based systems with a recursive system using a nonlinear predictor. As with all recursive structures stability criteria have to be regarded here. Due to the number of available nonlinear structures resp. methods one needs rules for decisions which to choose in what case. An applicable help is given by means of a detailed work flow. The practical use of this works results is shown within two example applications