Jeux de policiers et voleurs : modèles et applications

Les jeux de policiers et voleurs sont étudiés depuis une trentaine d’années en informatique et en mathématiques. Comme dans les jeux de poursuite en général, des poursuivants (les policiers) cherchent à capturer des évadés (les voleurs), cependant ici les joueurs agissent tour à tour et sont contraints de se déplacer sur une structure discrète. On suppose toujours que les joueurs connaissent les positions exactes de leurs opposants, autrement dit le jeu se déroule à information parfaite. La première définition d’un jeu de policiers-voleurs remonte à celle de Nowakowski et Winkler [39] et, indépendamment, Quilliot [46]. Cette première définition présente un jeu opposant un seul policier et un seul voleur avec des contraintes sur leurs vitesses de déplacement. Des extensions furent graduellement proposées telles que l’ajout de policiers et l’augmentation des vitesses de mouvement. En 2014, Bonato et MacGillivray [6] proposèrent une généralisation des jeux de policiers-voleurs pour permettre l’étude de ceux-ci dans leur globalité. Cependant, leur modèle ne couvre aucunement les jeux possédant des composantes stochastiques tels que ceux dans lesquels les voleurs peuvent bouger de manière aléatoire. Dans ce mémoire est donc présenté un nouveau modèle incluant des aspects stochastiques. En second lieu, on présente dans ce mémoire une application concrète de l’utilisation de ces jeux sous la forme d’une méthode de résolution d’un problème provenant de la théorie de la recherche. Alors que les jeux de policiers et voleurs utilisent l’hypothèse de l’information parfaite, les problèmes de recherches ne peuvent faire cette supposition. Il appert cependant que le jeu de policiers et voleurs peut être analysé comme une relaxation de contraintes d’un problème de recherche. Ce nouvel angle de vue est exploité pour la conception d’une borne supérieure sur la fonction objectif d’un problème de recherche pouvant être mise à contribution dans une méthode dite de branch and bound.Cops and robbers games have been studied for the last thirty years in computer science and mathematics. As in general pursuit evasion games, pursuers (cops) seek to capture evaders (robbers), however here the players move in turn and are constrained to move on a discrete structure. It is always assumed that players know the exact location of their adversary, in other words the game is played with perfect information. The first definition of a cops and robbers game dates back to Nowakowski and Winkler [39] and, independantly, Quilliot [46]. This first definition presents a game opposing a single cop against a lone robber, both with constraints on their speed. Extensions were gradually formulated such as increasing the number of cops and the speed of the players. In 2014, Bonato and MacGillivray [6] presented a general characterization of cops and robbers games in order for them to be globally studied. However, their model does not take into account stochastic events that may occur such as the robbers moving in a random fashion. In this thesis, a novel model that includes stochastic elements is presented. Furthermore, we present in this thesis a concrete application of cops and robbers games in the form of a method of resolution of a problem from search theory. Although cops and robbers games assume perfect information, this hypothesis cannot be maintained in search problems. It appears however that cops and robbers games can be viewed as constraint relaxations of search problems. This point of view is made use of in the conception of an upper bound on the objective function of a search problem that is a applied in a branch and bound method