Ретроспективный обзор троичных последовательностей с идеальной периодической автокорреляцией и устройств их генерации

Introduction. Perfect polyphase unimodular sequences, i.e. sequences with ideal periodic autocorrelation and single amplitude of symbols are widely used in modern radio communications and radars. Among them a special place is occupied by perfect ternary sequences (PTSs) with elements {–1, 0, 1}. PTSs are quite numerous and their length in comparison with perfect binary sequences is not limited from above. There is a well-known review of PTS families undertaken by Fan and Darnell in 1996. However, over the past two decades numerous new PTS families have been discovered. Connections between PTSs and circulant weighing matrices have been established and certain theorems on the existence of PTS existence for certain lengths have also been obtained. Therefore, there is a need for a new modern review of existing PTSs.Objective. This review of existing PTSs is intended for developers of radio electronic systems using perfect sequences. Materials and methods. Domestic and foreign sources of information (books, journal papers, conference proceedings, patents) were considered and analysed. A Web search was carried out based on keywords using resources of Yandex and Google, as well as in digital electronic libraries (Russian State Library (RSL), IEEE Xplore Digital Library), conference materials (Digital Signal Processing and its Application (DSPA), Sequences and their Applications (SETA), etc.). Results. In addition to the matter of collating an informational bibliography, the review shows the relationship between PTSs obtained at different times and their connection with circulant weighing matrices. The review also describes the generators of known PTS families (Ipatov, Hoholdt-Justensen, etc.). Conclusion. A retrospective review of PTSs is herein presented and the generators of certain known PTS families have been considered. The results of the study are relevant for use in modern radio communications and radar systems and in CW and LPI radars in particular. Введение. Идеальные многофазные унимодулярные последовательности, т. е. последовательности с идеальной периодической автокорреляцией и единичной амплитудой символов, широко используются в современной радиосвязи и радиолокации. Особое место среди них занимают идеальные троичные последовательности (ИТП) с элементами {–1, 0, 1}. ИТП достаточно многочисленны, а их длина в отличие от идеальных двоичных последовательностей не ограничена сверху. Известен обзор ИТП, сделанный Фаном и Дарнеллом в 1996 г. Однако за прошедшие два десятилетия были открыты новые многочисленные семейства ИТП, установлены связи между ИТП и циркулянтными взвешенными матрицами, получены теоремы о существовании ИТП с определенными параметрами. Поэтому возникла потребность в новом современном обзоре известных на сегодня ИТП. Цель работы. Обзор современных ИТП предназначен для разработчиков радиоэлектронных систем, в которых используются идеальные последовательности.Материалы и методы. Рассмотрены и проанализированы отечественные и зарубежные источники информации (книги, журнальные статьи, труды конференций, патенты). Поиск осуществлялся в сети Интернете по ключевым словам с использованием Интернет-ресурсов Yandex и Google, а также в цифровых электронных библиотеках (Российской Государственной библиотеке (РГБ), IEEE Xplore Digital Library), в материалах конференций (Цифровая Обработка Сигналов и ее Применение (DSPA), Sequences and Their Applica-tions (SETA), и др.). Результаты. Наряду с решением информационно-библиографической задачи в обзоре показана взаимосвязь полученных в разное время ИТП, их эквивалентность циркулянтным взвешенным матрицам, а также рассмотрены устройства генерации известных семейств ИТП (Ипатова, Хохолдта-Джастесена и др.). Заключение. Представлен ретроспективный обзор ИТП; рассмотрены генераторы известных семейств ИТП. Результаты исследования актуальны для применения в современных системах радиосвязи и радиолокации, в частности в CW- и LPI-радарах.

The solution of the Waterloo problem

AbstractLet D(d, q) be a classical (ν, k, λ)-Singer difference set in a cyclic group G corresponding to the complement of the point-hyperplane design of PG(d, q) (d ⩾ 1). We characterize those Singer difference sets D(d, q) which admit a “Waterloo decomposition” D = A ∪ B such that (A − B) · (A − B)(−1) = k in ZG:Theorem. D(d, q) admits a Waterloo decomposition if and only if d is even