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Polinomios biortogonales y sus generalizaciones: una perspectiva desde los sistemas integrables
La conexión existente entre los polinomios ortogonales y otras ramas de la matemática, la fÃsica o la ingenierÃa es verdaderamente asombrosa. Además, no hay mejor prueba de la utilidad de estos que el propio crecimiento, avance perpetuo y generalización en diversas direcciones de lo que se entendÃa por polinomio ortogonal en los albores de la teorÃa. Conforme el concepto se fue generalizando, también fueron evolucionando las técnicas para su estudio, algunas de estas claramente influenciadas por aquellas disciplinas matemáticas con las que iban surgiendo conexiones. La perspectiva que esta tesis adopta frente a los polinomios ortogonales es un ejemplo de este tipo de influencias, compartiendo herramientas y entrelazandose con la teorÃa de los sistemas integrables. Una posición privilegiada en esta tesis la ocuparÃan las matrices de Gram semi in nitas; cada cual asociada a una forma sesquilineal adaptada al tipo de biortogonalidad en cuestión. A estas matrices se les impondrán una serie de condiciones cuyo objeto serÃa el de garantizar la existencia y unicidad de las secuencias biortogonales asociadas a las mismas. El siguiente paso consistirÃa en buscar simetrÃas de estas matrices de Gram. Existen dos razones por las que este esfuerzo resulta ventajoso. En primer lugar, cada simetrÃa encontrada podrÃa traducirse en propiedades de las secuencias biortogonales, por ejemplo: una estructura Hankel de la matriz es equivalente a gozar de la recurrencia a tres términos de los polinomios ortogonales; la simetrÃa propia de las matrices asociadas a pesos clásicos (Hermite, Laguerre, Jacobi) implica la existencia del operador diferencial lineal de segundo orden de que los polinomios clásicos son solución; etc..