On the Index and the Order of Quasi-regular Implicit Systems of Differential Equations

This paper is mainly devoted to the study of the differentiation index and the order for quasi-regular implicit ordinary differential algebraic equation (DAE) systems. We give an algebraic definition of the differentiation index and prove a Jacobi-type upper bound for the sum of the order and the differentiation index. Our techniques also enable us to obtain an alternative proof of a combinatorial bound proposed by Jacobi for the order. As a consequence of our approach we deduce an upper bound for the Hilbert-Kolchin regularity and an effective ideal membership test for quasi-regular implicit systems. Finally, we prove a theorem of existence and uniqueness of solutions for implicit differential systems

Bases de Gröbner e Ideales Diferenciables

La teoría de Bases de Gröbner se desarrolló en los años 60 junto con el algoritmo de Buchberger teniendo un gran impacto en el álgebra computacional. Esto ha hecho posible el cálculo eficiente de ecuaciones polinómicas permitiendo investigar complicados ejemplos. Es por esto que las bases de Gröbner tienen multitud de aplicaciones en campos como la criptografía, la teoría de grafos, la robótica, la resolución de sistemas de ecuaciones polinómicas,... Entre todas estas aplicaciones nos vamos a centrar en la resolución de sistemas de ecuaciones con polinomios diferenciales. El objetivo de este trabajo es desarrollar la teoría de las bases de Gröbner para llegar a resolver ecuaciones polinómicas y sistemas de ecuaciones diferenciales polinómicas tanto de manera teórica como realizando un programa en Sage que permita su resolución. Para ello este trabajo está estructurado en cuatro capítulos: En el capítulo 1 presentamos definiciones que nos permiten introducir las bases de Gröbner. En el capítulo 2 se introduce el concepto de las bases de Gröbner y el algoritmo de Buchberger que permite calcularlas. En el capítulo 3 se extienden los conceptos aprendidos en los capítulos anteriores a anillos diferenciales, explicando un método equivalente al algoritmo de Buchberger llamado proceso de reducción. En el capítulo 4 se realiza un ejemplo que ilustra la teoría anterior. Para su resolución se ha implementado en Sage una serie de programas que facilitan su resolución que se muestran en el anexo

Some Constructions in Rings of Differential Polynomials

this paper and it constitutes a contribution to this direction of research. The differential algebras considered here are commutative rings of differential polynomials in several differential indeterminates over a field of constants, a particular case of the algebras introduced by the classical works of Janet [8], Kolchin [11], Riquier [20