2 research outputs found
The asymptotic solution of a singularly perturbed Cauchy problem for Fokker-Planck equation
The asymptotic method is a very attractive area of applied mathematics. There are many modern research directions which use a small parameter such as statistical mechanics, chemical reaction theory and so on. The application of the Fokker-Planck equation (FPE) with a small parameter is the most popular because this equation is the parabolic partial differential equations and the solutions of FPE give the probability density function. In this paper we investigate the singularly perturbed Cauchy problem for symmetric linear system of parabolic partial differential equations with a small parameter. We assume that this system is the Tikhonov non-homogeneous system with constant coefficients. The paper aims to consider this Cauchy problem, apply the asymptotic method and construct expansions of the solutions in the form of two-type decomposition. This decomposition has regular and border-layer parts. The main result of this paper is a justification of an asymptotic expansion for the solutions of this Cauchy problem. Our method can be applied in a wide variety of cases for singularly perturbed Cauchy problems of Fokker-Planck equations.ΠΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ - ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π²Π°ΠΆΠ½Π°Ρ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ. Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ
Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ
ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠ°Π»ΡΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΌΠ΅Ρ
Π°Π½ΠΈΠΊΠ°, ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ Ρ
ΠΈΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
ΡΠ΅Π°ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΈ Π΄Ρ. ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π€ΠΎΠΊΠΊΠ΅ΡΠ°-ΠΠ»Π°Π½ΠΊΠ° Ρ ΠΌΠ°Π»ΡΠΌ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠΌ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π²ΠΎΡΡΡΠ΅Π±ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ
ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
, Π° ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π°ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ. Π ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΈΠ½Π³ΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΡΡΡΠ½Π½Π°Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° ΠΠΎΡΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ
ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ
ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
Ρ ΠΌΠ°Π»ΡΠΌ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠΌ. ΠΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ° ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΠΈΡ
ΠΎΠ½ΠΎΠ²ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠΏΠ° Ρ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ. Π¦Π΅Π»Ρ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ - ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ ΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΠΠΎΡΠΈ, ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΄Π²ΡΡ
ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΄Π°. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ΅Π³ΡΠ»ΡΡΠ½ΡΡ ΠΈ ΠΏΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΡΠ»ΠΎΠΉΠ½ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΈ. ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠΌ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΠΎΡΠΈ. ΠΠ°Ρ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ½ Π΄Π»Ρ ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡΡΠ³Π° ΡΠΈΠ½Π³ΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΡΡΡΠ½Π½ΡΡ
Π·Π°Π΄Π°Ρ ΠΠΎΡΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π€ΠΎΠΊΠΊΠ΅ΡΠ°-ΠΠ»Π°Π½ΠΊΠ°