Einstein's quantum theory of the monatomic ideal gas: non-statistical arguments for a new statistics

In this article, we analyze the third of three papers, in which Einstein presented his quantum theory of the ideal gas of 1924-1925. Although it failed to attract the attention of Einstein's contemporaries and although also today very few commentators refer to it, we argue for its significance in the context of Einstein's quantum researches. It contains an attempt to extend and exhaust the characterization of the monatomic ideal gas without appealing to combinatorics. Its ambiguities illustrate Einstein's confusion with his initial success in extending Bose's results and in realizing the consequences of what later became to be called Bose-Einstein statistics. We discuss Einstein's motivation for writing a non-combinatorial paper, partly in response to criticism by his friend Ehrenfest, and we paraphrase its content. Its arguments are based on Einstein's belief in the complete analogy between the thermodynamics of light quanta and of material particles and invoke considerations of adiabatic transformations as well as of dimensional analysis. These techniques were well-known to Einstein from earlier work on Wien's displacement law, Planck's radiation theory, and the specific heat of solids. We also investigate the possible role of Ehrenfest in the gestation of the theory.Comment: 57 pp

Kalorimetrie und Phasenkorrelationen eines zweidimensionalen Photonengases

Phasenübergänge spielen in der Physik eine bedeutende Rolle. Es entspricht unserer Alltagserfahrung, dass Materie ihre Eigenschaften in Abhängigkeit von äußeren Parametern wie Volumen, Druck oder Temperatur bei Überschreiten gewisser Phasengrenzen grundlegend ändern kann. Eine solche Grenze stellt der Übergang eines klassischen Gases von Teilchen mit ganzzahligem Spin hin zu einem entarteten Quantengas dar: Die Bose-Einstein-Kondensation. Bei gegebener Dichte führt das kollektive Verhalten der Teilchen durch den Überlapp ihrer quantenmechanischen Wellenpakete unterhalb einer bestimmten Temperatur zu einer makroskopischen Besetzung nur eines Zustandes, sodass das Gesamtsystem durch nur eine Wellenfunktion beschrieben werden kann. Die Kondensation ist ein rein quantenstatistischer Effekt, basierend auf der grundlegenden Ununterscheidbarkeit bosonischer Teilchen, und somit unabhängig von der Existenz jeglicher Wechselwirkungen. Das in dieser Arbeit untersuchte zweidimensionale, harmonisch gefangene Photonengas in einem Farbstoff-Mikroresonator ist der Schwarzkörperstrahlung sehr ähnlich, unterscheidet sich jedoch in einem zentralen Punkt: Der verwendete Fluoreszenzfarbstoff kann, anders als die Wände des Schwarzkörpers, nicht thermisch angeregt werden, da die Anregungsenergie des elektronischen Übergangs um mehr als eine Größenordnung oberhalb der thermischen Energie liegt. Weiter muss der Farbstoff ein zuvor absorbiertes Photon zwangsläufig wieder emittieren, wobei es dem angeregten Farbstoffmolekül erlaubt ist, durch Stöße mit Lösungsmittelmolekülen Energie auszutauschen. Durch wiederholte Absorptions- und Reemissions-Prozesse koppelt das Photonengas so an das durch den Farbstoff gebildete Wärmebad und thermalisiert bei Raumtemperatur. Zudem beschränkt der Mikroresonator das Photonengas durch Festhalten des longitudinalen Wellenvektors auf seine beiden transversalen Freiheitsgrade. Dies führt zu einem nicht-trivialen Grundzustand mit einer unteren Abschneidefrequenz, sodass sich das Photonengas formal äquivalent zu einem Gas aus massiven bosonischen Teilchen verhält. Letzteres spiegelt sich auch in dem quadratischen Verlauf der Dispersionsrelation wider, welcher charakteristisch für ein Gas massiver Teilchen ist. Bei Erhöhung der Teilchenzahl kann der Phasenübergang zum Bose-Einstein-Kondensat beobachtet werden, indiziert durch die makroskopische Besetzung des Grundmoden im harmonischen Fallenpotential. Zentrales Thema der vorliegenden Arbeit ist die experimentelle Untersuchung der Ordnungsparameter des Photonengases beim Übergang aus der klassischen, vollständig durch die Boltzmann-Statistik beschriebenen thermischen Phase hin zum quantenentarteten Bose-Einstein-Kondensat. Zunächst erfolgt eine Bestimmung der kalorischen Eigenschaften des Systems, insbesondere der inneren Energie, der spezifischen Wärme und der Entropie anhand von spektroskopischen Messungen der Photonenzahlverteilung im Mikroresonator. Dabei zeigt sich eine gute Übereinstimmung mit den Erwartungen gemäß der Theorie des idealen Bosegases. Im Grenzfall hoher Temperaturen (geringer Teilchenzahlen) verhält sich das Photonengas wie ein klassisches einkomponentiges Gas, dessen Gesamtenergie gemäß des Äquipartitionstheorems mit der Temperatur und der Anzahl an Freiheitsgraden skaliert. Für tiefe Temperaturen (hohe Teilchenzahlen) strebt der Energieinhalt pro Teilchen des kondensierten Systems gegen 0, was gleichbedeutend ist zu einer unendlich großen Kompressibilität, wie sie für das ideale Bosegas zu erwarten ist. Der Phasenübergang wird besonders eindrucksvoll durch den spitzen Verlauf der spezifischen Wärme sichtbar, ähnlich dem bekannten λ-Übergang von flüssigem 4He in seine suprafluide Phase. In einem weiteren Schritt erfolgt eine interferometrische Untersuchung der Korrelationen erster Ordnung, die als direkte Indikatoren für den Grad an Ordnung im System dienen. In der thermischen Phase fällt die transversale Kohärenz auf einer von der thermischen de Broglie Wellenlänge vorgegebenen Längenskala ab. Dabei zeigt diese sowohl eine quantitative Übereinstimmung mit der Erwartung für ein Teilchen mit einer Masse, die der effektiven Photonenmasse im Resonator entspricht, als auch die erwartete Skalierung mit der Temperatur. Es konnte somit im Rahmen der vorliegenden Arbeit erstmalig die tatsächliche thermische de Broglie Länge eines photonischen Systems vermessen werden. Überdies konnte gezeigt werden, dass der Phasenübergang zum Kondensat einsetzt, sobald die theoretisch erwartete Phasenraumdichte erreicht ist. Die Annahme, dass die Quantennatur der Teilchen genau dann eine dominierende Rolle einnimmt, wenn ihre Wellenpakete überlappen, konnte somit für ein photonisches System verifiziert werden. Mit Einsetzen der Kondensation wächst die Kohärenz rasch an, sodass eine das gesamte System umfassende, langreichweitige Ordnung etabliert wird. In der Gesamtbetrachtung zeigt sich, dass das harmonisch gefangene, zweidimensionale Photonengas im farbstoffgefüllten Mikroresonator der Realisierung eines idealen Bosegases unerreicht nahe kommt

Probing the SU(N) Fermi-Hubbard model with ytterbium atoms in an optical lattice

This thesis reports on the experimental realization of the 3D SU(N) Fermi-Hubbard model and the direct probing of the equation of state with an ultracold quantum gas of fermionic ytterbium in an optical lattice. Ultracold atoms in optical lattices constitute a flexible and highly tunable system to investigate Hamiltonians of condensed matter physics such as the Hubbard model. In particular, ytterbium atoms are ideal candidates for the realization of the Fermi-Hubbard model with SU(N)-symmetry due to a high decoupling of the nuclear spin from the electronic configuration. As a consequence of this enlarged symmetry, thermodynamic properties of the atomic sample depend on N, the number of spin components in the quantum gas, and novel, exotic phases are predicted to emerge at low temperatures. By locally probing a quantum gas of 173Yb in a 3D optical lattice, we determine the equation of state of the SU(6) and SU(3) Fermi-Hubbard model. The measurement of the equation of state allows us to obtain direct, model-independent access to the thermodynamic quantities of the lattice gas. In this way, we can characterize the crossover from a Fermi liquid to an SU(N) Mott insulator when tuning the interaction strength, and can probe the compressibility of the quantum gas in different interaction regimes. Moreover, we find a low specific entropy of the SU(6) gas below that of uncorrelated spins, indicating the presence of partial spin correlations in the atomic sample. The ability to access the equation of state of such high spin systems, as well as the low obtained entropy, represent an important step towards the realization of SU(N) spin Hamiltonians and the characterization of novel SU(N) phases.Diese Doktorarbeit beschreibt die experimentelle Umsetzung des 3D SU(N) Fermi-Hubbard Modells und die direkte Messung der Zustandsgleichung mit Hilfe eines ultrakalten Quantengases von fermionischen Ytterbium-Atomen in einem optischen Gitter. Ultrakalte, neutrale Atome in optischen Gittern stellen ein gut kontrollierbares und hochflexibles System dar um Modelle aus der Festkörperphysik, wie z.B. das Hubbard Modell, zu untersuchen. Insbesondere erlauben Ytterbium-Atome, diese Modelle mit SU(N) Symmetrie zu realisieren, da bei ihnen der Kernspin nahezu vollständig von der elektronischen Konfiguration der Atome entkoppelt ist. Als Folge dieser erweiterten Symmetrie hängen die thermodynamischen Größen von N – der Anzahl der Spinkomponenten im Quantengas – ab, und man erwartet neuartige Phasenzustände dieser Systeme bei niedrigen Temperaturen. Durch Messen der lokalen Eigenschaften eines 173Yb Quantengases, erhalten wir die Zustandsgleichung des SU(6) und SU(3) Fermi-Hubbard Modells. Die Zustandsgleichung erlaubt es uns, direkten, modellunabhängigen Zugang zu den thermodynamischen Größen des Gases im Gitter zu erlangen. Hiermit ist es möglich, durch Ändern der Wechselwirkungsstärke den Übergang von einer Fermi-Flüssigkeit zu einem SU(N) Mott-Isolator zu beobachten, sowie die Kompressibilität des Gases für unterschiedlich starke Wechselwirkungen zu ermitteln. In dem Experiment beobachten wir eine niedrige spezifische Entropie des SU(6) Gases, niedriger als die von unkorrelierten Spins, was auf partielle Spinkorrelationen im Quantengas hinweist. Die Möglichkeit, die Zustandsgleichung solcher Systeme mit hohem Spin direkt zu bestimmen, sowie die niedrige Entropie die erzielt wurde, stellen einen wichtigen Schritt für die Realisierung von SU(N) Spin-Hamiltonoperatoren dar, sowie für die Charakterisierung von neuartigen SU(N) Phasenzuständen

Quantentransport ultrakalter Atome in Fourier-synthetisierten optischen Gitterpotentialen

Transporteffekte spielen eine zentrale Rolle für viele Phänomene der Physik, Biologie und Chemie. Ein Beispiel hierfür ist der Ratscheneffekt, bei dem in einem periodisch getriebenen System ein gerichteter Transport von Teilchen erreicht werden kann, ohne dass eine gerichtete Kraft verwendet wird. Ultakalte atomare Gase eignen sich hervorragend zum Studium von Transporteffekten im Quantenbereich, wobei Lichtkräfte mit weitverstimmten Lichtfeldern als sehr dissipationsarmer Antrieb eingesetzt werden können. Die vorliegende Arbeit befasst sich mit Experimenten zum Quantentransport eines Ensembles ultrakalter Atome in optischen Gitterpotentialen variabler räumlicher Symmetrie. Für die Experimente wurde ein Bose-Einstein Kondensat aus Rubidiumatomen des Isotops $^{87}$Rb eingesetzt und einem periodischen optischen Lichtpotential ausgesetzt, das mit einem Verfahren zur Fourier-Synthese von variablen Lichtpotentialen hergestellt wurde. Dazu wurden neben konventionellen optischen Gittern der Periode $\lambda/2$ auch Gitter höherer Ordnung mit einer Periode von $\lambda/(2n)$ hergestellt, wobei n eine natürliche Zahl ist. Diese sogenannten {\it Multiphotonen-Gitter} nutzen die dispersive Eigenschaft von Raman-Übergängen aus. Ausgehend von diesen Ergebnissen wurden zunächst Transportexperimente in einem beschleunigten optischen Multiphotonen-Gitter der Periode $\lambda/4$ durchgeführt. Die Beobachtung von Bloch-Oszillationen in einem Multiphotonen-Gitter zeigt dabei die kohärente Eigenschaft solcher Gitterpotentiale, die unterhalb der Rayleigh Auflösungsgrenze arbeiten. In einem nächsten Schritt wurde die Bandstruktur eines Gitters variabler räumlicher Symmetrie untersucht, das aus einer Überlagerung eines konventionellen Gitterpotentials der Periode $\lambda/2$ und eines Multiphotonen-Gitters der Periode $\lambda/4$ besteht. Im Experiment konnte mit Hilfe von Landau-Zener Übergängen in einem beschleunigten Gitter festgestellt werden, dass die Energieaufspaltung zwischen dem zweiten und dritten Blochband von den Potentialtiefen der Gitterharmonischen sowie von der relativen Phase zwischen den Gitterharmonischen abhängt. Bei geeigneter Wahl der Parameter konnte die Energieaufspaltung zwischen den Bändern vollständig unterdrückt werden. In weiteren Experimenten wurde mit einem zeitlich getriebenen Lichtpotential der gerichtete Ratschentransport ultrakalter Atome untersucht. Ziel war hierbei eine Realisierung einer Hamiltonschen Quantenratsche, d.h. die Beobachtung von Transport im Quantenbereich ohne die Anwesenheit von gerichteten Kräften oder Dissipation im System. Hierzu wird ein räumlich asymmetrisches Gitterpotential benötigt, das im Experiment durch die phasenrichtige Überlagerung eines konventionellen Gitters der Periode $\lambda/2$ und eines Multiphotonen-Gitters der Periode $\lambda/4$ realisiert wurde. Die Amplitude des ratschenförmigen Potentials wird schließlich zeitlich asymmetrisch moduliert, wonach ein gerichteter Transport des Bose-Einstein Kondensats beobachtet werden konnte. Evidenzen für den vollständig quantenmechanischen Charakter des Ratschentransports waren eine beobachtete Oszillation des atomaren Impulses um einen von Null verschiedenen Wert, eine Abhängigkeit des nachgewiesenen Transports von dem Anfangszeitpunkt der Modulation sowie aufgetretene Resonanzfrequenzen der Amplitudenmodulation bei Positionen die von der atomaren Rückstoßfrequenz bestimmt sind. Die Ergebnisse können als die grundsätzliche Demonstration eines Quantenmotors interpretiert werden, bei dem ein gerichteter atomarer Transport ohne eine gerichtete Kraft erreicht wird. In zukünftigen Arbeiten wäre es interessant, den Bereich des atomren Ratschentransports gegen eine äußere Kraft genauer zu untersuchen oder die Experimente auf den stark korrelierten Bereich, bei dem die interatomare Wechselwirkung eine wichtige Rolle spielt, zu erweitern

Abschlussbericht KACTUS II

Im Bereich der Quantensensorik sind Atomchips eine entscheidende Technologie für die Erzeugung und präzise Kontrolle von Quantengasen in einem kompakten, robusten und energieeffizienten System. Sie erzeugen starke Magnetfelder in der Nähe der atomaren Ensembles im Vakuum. Ziel dieses Projekts ist es, die Grenzen der Atomchip-Technologie zu erweitern, indem die der evaporativen Kühlung zugrunde liegenden Mechanismen mit dem KACTUS Gitter-Atomchip analysiert werden und ein Spiegel-Atomchip aus Keramiken ohne den Einsatz von Klebstoffen konstruiert wird. Dieser Chip soll eine verbesserte Ausgasrate aufweisen und Probleme von Wirbelströmen in früheren Atomchip-Designs überwinden. Im Verlauf des Projekts wurden das magnetische Einfangen und die evaporative Kühlung im Detail mittels Simulationen und experimentellen Messungen untersucht. Der Atomchip mit Spiegeloberfläche wurde mit den Verbundpartnern aufgebaut und seine Reflektivität, sein Widerstand und sein Heizverhalten analysiert. Aus Zeitgründen konnte dieser jedoch nicht an Atomen getestet werden. Die erzielten Ergebnisse sind vielversprechend für den Einsatz in geplanten Weltraummissionen wie BECCAL und CARIOQA

Bose-Einstein-Kondensation in einen photonischen Superpositionszustand

Die Bose-Einstein-Kondensation ist ein Phasenübergang zu einem Zustand bei dem bosonische Teilchen den Systemgrundzustand makroskopisch besetzen. Dieser besondere Aggregatzustand konnte zunächst mit ultrakalten atomaren Gasen realisiert werden, welche die Beobachtung von Effekten der Festkörpertheorie an einem sehr reinen und defektarmen Modellsystem in optischen Potentialen ermöglichten. Seit 2010 gelingen Experimente zur Bose-Einstein-Kondensation auch mit Photonen, den quantisierten Teilchen des Lichts, in mit Farbstoff gefüllten optischen Mikroresonatoren. Dabei wird das Photonengas durch wiederholte teilchenzahlerhaltende Stöße mit den Farbstoffmolekülen ins thermische Gleichgewicht überführt. Ein geringer Abstand der Resonatorspiegel von nur wenigen Halbwellenlängen sorgt dabei durch den daraus folgenden hohen freien Spektralbereich für die Farbstoffemission lediglich in transversale Resonatorzustände einer Longitudinalmode. Diese niederenergetische Begrenzung verleiht dem nun zwei-dimensionalen Photonengas eine effektive Masse. Darüber hinaus ergibt sich aus der Krümmung der Resonatorspiegel ein harmonisches Potential für die Photonen. Die Gesamtphotonenzahl wird durch optische Pumpanregung der Moleküle eingestellt und kann durch Erhöhung dieser über den kritischen Punkt, bei der es zur Kondensation kommt, geführt werden. In Rahmen der vorliegenden Dissertation gelang die Demonstration eines Bose-Einstein-Kondensats in einen kohärent aufgespaltenen Zustand des Lichts. Dazu wurden Photonen in einem Potential mit zwei Minima thermalisiert. Zu Beginn der Arbeit wurde dabei eine auf wärmeinduzierter Delamination der dielektrischen Schichten basierende Technik zur Oberflächenverformung von Spiegeln erweitert, um die Erzeugung von komplexen Strukturen mit kleinen Abweichungen zum gewünschten Oberflächenprofil der reflektierenden Schicht zu ermöglichen. Durch die wiederholte Abfolge von interferometrischer Oberflächenvermessung und kleinschrittiger Deformation werden Resonatorspiegel mit einer longitudinalen Auflösung nahe einem Angström mikrostrukturiert. Da das Potential im Resonatorsystem proportional zur Spiegelstruktur skaliert, ist somit eine hochpräzise Gestaltung der Fallengeometrie möglich. Im nächsten Schritt konnte so ein Doppelmuldenpotential für Photonen strukturiert werden, das von einem schwachen harmonischen Fallenpotential überlagert ist. Aufgrund der Tunnelkopplung zwischen den Mulden ist der niederenergetischste Zustand für Resonatorphotonen der symmetrische Superpositionszustand der Doppelmulde. Als nächst höherenergetische Resonatormode folgt die anti-symmetrische Superposition. Höhere Zustände in der gegebenen Fallengeometrie sind höhere Harmonischer-Oszillator-Moden. Die spektrale sowie räumliche Aufteilung des durch Kontakt mit den Farbstoffmolekülen thermalisierten Photonengases zeigt eine Besetzung der Systemmoden nach der Bose-Einstein-Statistik und deutet auf ein erzeugtes Quantengas im thermischen Gleichgewicht hin. Insbesondere ist beim Überschreiten der kritischen Teilchenzahl eine makroskopische Besetzung des symmetrischen Superpositionszustandes im Fallenzentrum zu sehen. Sowohl die beobachtete räumliche Verteilung der Resonatoremission, als auch eine spektrale Analyse, weisen die Beobachtung eines Bose-Einstein Kondensats im räumlich aufgespaltenen Grundzustand, der die symmetrische Linearkombination der beiden lokalisierten Eigenzustände der Doppelmulde darstellt, nach. In weiteren Experimenten wurde die Tunneldynamik eines Photonengases in Doppelmulden tiefergehend untersucht. Dazu wird ein kohärentes Wellenpaket in einer der Mulden angeregt.  Die Zeitentwicklung dessen kann mit Pikosekunden-Auflösung beobachtet und die zeitliche Oszillation der Muldenbesetzungen aufgelöst werden. Dieser Verlauf wird durch die theoretische Zeitentwicklung des initial präparierten Zustands als Superposition von symmetrischem und anti-symmetrischem Zustand gut beschrieben und lässt auf die Stärke der Tunnelkopplung schließen. Das Verfahren wird auch zur Vermessung der Photonendynamik in Dreifachmulden verwendet. Dabei konnten die Eigenmoden der Wellenpaketoszillation sowohl in gekoppelten linearen als auch in dreiecks-förmigen Gitterpotentialen beobachtet werden, wobei in der letztgenannten zweidimensionalen Anordnung, bei geeigneter Anregung, auch eine kreisförmige Photonendynamik beobachtet werden konnte

Probing the SU(N) Fermi-Hubbard model with ytterbium atoms in an optical lattice

This thesis reports on the experimental realization of the 3D SU(N) Fermi-Hubbard model and the direct probing of the equation of state with an ultracold quantum gas of fermionic ytterbium in an optical lattice. Ultracold atoms in optical lattices constitute a flexible and highly tunable system to investigate Hamiltonians of condensed matter physics such as the Hubbard model. In particular, ytterbium atoms are ideal candidates for the realization of the Fermi-Hubbard model with SU(N)-symmetry due to a high decoupling of the nuclear spin from the electronic configuration. As a consequence of this enlarged symmetry, thermodynamic properties of the atomic sample depend on N, the number of spin components in the quantum gas, and novel, exotic phases are predicted to emerge at low temperatures. By locally probing a quantum gas of 173Yb in a 3D optical lattice, we determine the equation of state of the SU(6) and SU(3) Fermi-Hubbard model. The measurement of the equation of state allows us to obtain direct, model-independent access to the thermodynamic quantities of the lattice gas. In this way, we can characterize the crossover from a Fermi liquid to an SU(N) Mott insulator when tuning the interaction strength, and can probe the compressibility of the quantum gas in different interaction regimes. Moreover, we find a low specific entropy of the SU(6) gas below that of uncorrelated spins, indicating the presence of partial spin correlations in the atomic sample. The ability to access the equation of state of such high spin systems, as well as the low obtained entropy, represent an important step towards the realization of SU(N) spin Hamiltonians and the characterization of novel SU(N) phases.Diese Doktorarbeit beschreibt die experimentelle Umsetzung des 3D SU(N) Fermi-Hubbard Modells und die direkte Messung der Zustandsgleichung mit Hilfe eines ultrakalten Quantengases von fermionischen Ytterbium-Atomen in einem optischen Gitter. Ultrakalte, neutrale Atome in optischen Gittern stellen ein gut kontrollierbares und hochflexibles System dar um Modelle aus der Festkörperphysik, wie z.B. das Hubbard Modell, zu untersuchen. Insbesondere erlauben Ytterbium-Atome, diese Modelle mit SU(N) Symmetrie zu realisieren, da bei ihnen der Kernspin nahezu vollständig von der elektronischen Konfiguration der Atome entkoppelt ist. Als Folge dieser erweiterten Symmetrie hängen die thermodynamischen Größen von N – der Anzahl der Spinkomponenten im Quantengas – ab, und man erwartet neuartige Phasenzustände dieser Systeme bei niedrigen Temperaturen. Durch Messen der lokalen Eigenschaften eines 173Yb Quantengases, erhalten wir die Zustandsgleichung des SU(6) und SU(3) Fermi-Hubbard Modells. Die Zustandsgleichung erlaubt es uns, direkten, modellunabhängigen Zugang zu den thermodynamischen Größen des Gases im Gitter zu erlangen. Hiermit ist es möglich, durch Ändern der Wechselwirkungsstärke den Übergang von einer Fermi-Flüssigkeit zu einem SU(N) Mott-Isolator zu beobachten, sowie die Kompressibilität des Gases für unterschiedlich starke Wechselwirkungen zu ermitteln. In dem Experiment beobachten wir eine niedrige spezifische Entropie des SU(6) Gases, niedriger als die von unkorrelierten Spins, was auf partielle Spinkorrelationen im Quantengas hinweist. Die Möglichkeit, die Zustandsgleichung solcher Systeme mit hohem Spin direkt zu bestimmen, sowie die niedrige Entropie die erzielt wurde, stellen einen wichtigen Schritt für die Realisierung von SU(N) Spin-Hamiltonoperatoren dar, sowie für die Charakterisierung von neuartigen SU(N) Phasenzuständen

Zur Gültigkeit der Jarzynskigleichung in Quantensystemen

Die Jarzynskigleichung gehört zu einer Reihe neuer Theoreme der Nichtgleichgewichtsthermodynamik. Es handelt sich um eine Gleichung, die den zweite Hauptsatz der Thermodynamik enthält, jedoch darüber hinaus geht. Sie bringt auch Prozessgrößen von gleichgewichtsfernen Prozessen mit Gleichgewichtsgrößen in einen neuen Zusammenhang. Gerade bei kleinen Systemen bleibt jedoch Frage nach der Gültigkeit der Gleichung für den Quantenfall. Im Gegensatz zu klassischen Systemen herrscht gerade hier Unklarheit und es gibt sehr widersprüchliche Aussagen, die auf unterschiedlichen Definitionen und quantenmechanischen Interpretationen der Gleichung fußen. Einfache verständnisfördernde Beispielsysteme fehlten bisher. In dieser Arbeit werden nun zwei solcher Beispielsysteme betrachtet. und überprüft, wie sich die Ergebnisse von den klassischen Resultaten unterscheiden und welche der besonderen Eigenschaften von Quantensystemen einen Einfluss auf das Ergebnis haben

Semiklassische Dynamik ultrakalter Bose-Gase

Die Dynamik anfänglich aus dem Gleichgewicht gebrachter wechselwirkender Quantenvielteilchensysteme wirft aktuell noch spannende Fragen auf. In Bezug auf die Thermalisierung ist z.B. nach wie vor ungeklärt, in welcher Form sie überhaupt stattfindet und in welchen Observablen bzw. auf welcher Zeitskala sie zu beobachten ist. Eine ideale Grundlage zur Erforschung von Relaxationsdynamiken in wechselwirkenden Vielteilchensystemen bieten ultrakalte Quantengase aufgrund ihrer guten Kontrollier- und Variierbarkeit. Ein allgemeiner theoretischer Rahmen, auf dessen Basis solche Prozesse zu untersuchen sind, steht jedoch infolge der großen Anzahl der beteiligten Freiheitsgrade bisher nicht zur Verfügung. Für ultrakalte bosonische Gase stellt die Gross-Pitaevskii-Gleichung eines der wichtigsten theoretischen Werkzeuge dar, eine klassische Feldgleichung für die Kondensatwellenfunktion in Molekularfeldnäherung. Die ihr zugrunde liegende Näherung erlaubt jedoch keine nicht-trivialen Aussagen über den vollen N-Teilchenzustand, dessen Kenntnis für die Untersuchung einer möglichen Relaxationsdynamik unabdingbar ist. Um der theoretischen Beschreibung des vollen bosonischen Feldes einen Schritt näher zu kommen, untersucht die vorliegende Arbeit die Anwendung semiklassischer Methoden auf ultrakalte Bosegase. Diese sind in der Regel dann sehr genau, wenn die beteiligten Wirkungen groß gegenüber dem Planckschen Wirkungsquantum sind. Für bosonische Felder wird dieser Grenzfall durch die Bedingung einer großen Teilchenzahl ersetzt. Die immense Anzahl an Teilchen in den hier behandelten Vielteilchensystemen macht die Anwendung semiklassischer Methoden auf diesem Gebiet also vielversprechend. Als zentrales Modellsystem wird ein anfänglich aus dem Gleichgewicht gebrachtes ultrakaltes bosonisches Doppelmuldensystem betrachtet, das eine hochinteressante Dynamik aufweist, die auf das Wechselspiel der Tunneldynamik einerseits und der Wechselwirkung der Teilchen untereinander andererseits zurückzuführen ist. Als Referenz lassen sich aufgrund der speziellen Fallengeometrie im Rahmen der Zwei-Moden-Näherung die Ergebnisse einer numerisch exakten Untersuchung heranziehen. Durch den Einsatz der namhaften WKB-Quantisierung und des besonders aus der Molekülphysik bekannten Reflexionsprinzips wird hier ein geschlossener analytischer Ausdruck für die sogenannte Populationsdifferenz im Doppelminimum hergeleitet, der ausschließlich von den wenigen relevanten Systemparametern abhängt. Diese mächtige Formel erlaubt es nun zum ersten Mal, in quantitativer Weise die charakteristische Sequenz aus Oszillationen, Kollapsen und Revivals in Abhängigkeit der vorausgesetzten Parameter zu untersuchen. Nach dieser ersten erfolgreichen Anwendung semiklassischer Methoden im Modellsystem wird über die reduzierte Dynamik der Populationsdifferenz hinausgegangen. Mithilfe des semiklassischen Herman-Kluk-Propagators lässt sich selbst der volle N-Teilchenzustand untersuchen. Da es letztlich um die Beschreibung ultrakalter Bosonen in beliebigen Potentialen gehen soll, wird zunächst der Herman-Kluk-Propagator für eine Feldtheorie vorgestellt. Im Doppelmuldensystem zeigt sich dann in der Anwendung die semiklassische Propagation in der Lage, für alle untersuchten Parameterregime gute Übereinstimmung mit den numerisch exakten Ergebnissen zu liefern. Zusätzlich findet ein Abgleich der Resultate mit der Truncated Wigner Approximation statt, auf die im Forschungsgebiet ultrakalter Bosonen häufig zurück gegriffen wird. Diese beschreibt die Zeitentwicklung einer Wignerverteilung unter Aussparung der Quanteninterferenzen. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, dass die Herman-Kluk-Propagation unter Berücksichtigung der Phasen weit über die Truncated Wigner Approximation hinausgeht: Sie gibt alle wichtigen Charakteristika der Dynamik im Doppelmuldensystem wieder. Um die Semiklassik auf ihre Aussagefähigkeit in Bezug auf eine noch komplexere Dynamik zu untersuchen, wird zum Abschluss das Drei-Topf-System betrachtet, das zusätzlich chaotische Regionen im Phasenraum aufweist. Auch hier zeigt sich, dass die semiklassische Berücksichtigung der Phasen die Truncated Wigner Approximation in den Schatten stellt. Allerdings ergeben sich durch die Instabilität der Trajektorien für stark chaotische Regime numerische Probleme, die es in der Zukunft zu lösen gilt.The dynamics of initially non equilibrium interacting quantum many body systems is an ongoing and interesting field of research. It is still an open question in which form relaxation occurs in such systems, and in which observables and on which timescales a possible thermalization might appear. A perfect playground for the investigations of relaxation dynamics in interacting many body schemes is provided by ultracold quantum gases, which are easily to be controlled and varied in experiments. However, a general theoretical framework for the investigation of such processes is still missing, due to the huge amount of involved degrees of freedom. One of the main theoretical tools in the field of ultracold bosonic gases represents the famous Gross-Pitaevskii equation, a field equation for the Bose-Einstein condensate wave function in terms of a mean-field approximation. However, the underlying approximation prevents the possibility to draw non-trivial conclusions about the full N-particle state, the information of which is necessary for the analysis of relaxation processes. To gain the theoretical description of the full bosonic field, the present thesis deals with the application of semiclassical methods to ultracold boson gases. Those techniques become in general exact, as long as the involved actions are large compared to Planck's constant. For many body systems it turns out that semiclassics are expected to give good results also for the condition of high particle numbers, which is precisely fulfilled in these schemes, making the semiclassical approaches promising. As an essential model system an initially out of equilibrium ultracold bosonic double-well system is investigated. This configuration provides highly interesting dynamics due to the interplay of the tunneling dynamics on the one hand and the interaction amongst the particles on the other. The special trap geometry makes exact numerical calculations in the framework of the two-mode approximation available, which serve in the following as reference data. By applying the common semiclassical WKB approximation and the reflection principle known from molecule physics, a closed analytical expression for the so-called population imbalance of the bosons in the double-well is derived, depending only on the few relevant system parameters. This mighty formula allows for the first time the quantitative investigation of the characteristic sequence consisting of oscillations, collapse and revivals in dependence on the parameters of the system. Since the semiclassical approaches succeeded for the double-well model so far the so-called Herman-Kluk propagator is adopted, to go beyond the reduced dynamics of the population imbalance. The propagator provides the possibility to treat the full N-particle state theoretically and is introduced for the most general case of a bosonic quantum field. Its application to the double-well system yields for all investigated parameter regimes very good agreement with the numerical exact results. Furthermore the outcomes are compared to the Truncated Wigner approximation, which is frequently used in the research field of ultracold bosons. This approach pictures the time evolution of a Wigner distribution, without taking into account the quantum interferences. In the present thesis it is shown that the Herman-Kluk propagation goes clearly beyond the truncated Wigner approach by considering in addition the quantum phases: The propagator is able to reproduce all of the distinctive features of the double-well dynamics. In order to test the performance of semiclassical methods in matters of even more complex systems, the ultracold bosonic triple-well model is finally considered, which exhibits unlike the double-well scheme chaotic regions in phase space. It turns out that the semiclassical propagation outplays again the truncated Wigner approximation. On the other hand the instability of the highly chaotic trajectories causes numerical problems, which have to be solved in the future