Stochastic Surface Growth

Growth phenomena constitute an important field in nonequilibrium statistical mechanics. Kardar, Parisi, and Zhang (KPZ) in 1986 proposed a continuum theory for local stochastic growth predicting scale invariance with universal exponents and limiting distributions. For a special, exactly solvable growth model (polynuclear growth - PNG) on a one-dimensional substrate (1+1 dimensional) we confirm the known scaling exponents and identify for the first time the limiting distributions of height fluctuations for different initial conditions (droplet, flat, stationary). Surprisingly, these so-called Tracy-Widom distributions have been encountered earlier in random matrix theory. The full stationary two-point function of the PNG model is calculated. Its scaling limit is expressed in terms of the solution to a special Rieman-Hilbert problem and determined numerically. By universality this yields a prediction for the stationary two-point function of (1+1)-dimensional KPZ theory. For the PNG droplet we show that the surface fluctuations converge to the so-called Airy process in the sense of joint distributions. Finally we discuss the theory for higher substrate dimensions and provide some Monte-Carlo simulations.Wachstumsphänomene stellen ein wichtiges Teilgebiet der statistischen Mechanik des Nichtgleichgewichts dar. Die 1986 von Kardar, Parisi und Zhang (KPZ) vorgeschlagene Kontinuumstheorie sagt für lokales stochastisches Wachstum Skaleninvarianz mit universellen Exponenten und Grenzverteilungen vorher. Für ein spezielles, exakt lösbares, Wachstumsmodell (polynuclear growth - PNG) auf eindimensionalem Substrat (1+1 dimensional) werden die bekannten Skalenexponenten bestätigt und die Grenzverteilungen der Höhenfluktuationen bei verschiedenen Anfangsbedingungen (Tropfen, flach, stationär) erstmals identifiziert. Überraschenderweise sind diese sogenannten Tracy-Widom-Verteilungen aus der Theorie der Zufallsmatrizen bekannt. Die volle stationäre Zweipunkt-Funktion des PNG-Modells wird berechnet. Im Skalenlimes wird sie durch die Lösung eines speziellen Riemann-Hilbert-Problems ausgedrückt und numerisch bestimmt. Auf Grund der erwarteten Universalität erhält man somit eine Vorhersage für die stationäre Zweipunkt-Funktion der (1+1)-dimensionalen KPZ-Theorie. Für die Tropfengeometrie wird gezeigt, dass die Oberflächenfluktuationen im Sinne gemeinsamer Verteilungen gegen den sogenannten Airy-Prozess konvergieren. Schliesslich wird die Theorie für höhere Substratdimensionen diskutiert und durch Monte-Carlo-Simulationen ergänzt

Distributed data structures and the power of topological self-stabilization

In dieser Arbeit betrachten wir Probleme im Bereich verteilter Systeme und lokaler Algorithmen. Wir betrachten verteilte Systeme, die gegeben sind durch bestimmte Topologien miteinander vernetzter Knoten, und stellen die Frage, ob solche Topologien wiederhergestellt werden können, wenn das Netzwerk durch den Ausfall oder Hinzukommen von Knoten oder Kanten verändert wird. Dabei sollen lokale verteilte Algorithmen entwickelt werden, die das Netzwerk von einer beliebigen schwach zusammenhängenden Starttopologie in eine Zieltopologie überführen. Diese Eigenschaft eines Algorithmus nennen wir topologische Selbststabilisierung. Motiviert wird diese Betrachtung durch die zunehmende Nutzung von Peer-to-Peer Systemen und von Cloud Dienstleistern, also Szenarien in denen das System aus Ressourcen besteht, für die Ausfälle nicht mehr kontrolliert werden können. Zur Analyse von topologisch selbststabilisierenden Algorithmen oder Protokollen führen wir geeignete Modelle ein. Wir präsentieren dann für einige bestimme Topologien mit welchen topologisch selbststabilisierenden Protokollen diese erreicht werden können. Wir betrachten dabei als einführendes Beispiel eine sortierte Liste von Knoten und fahren dann mit komplexeren Topologien wie einem Small-World Netzwerk und einem vollständigem Graphen fort. Als nächstes wenden wir die Idee von topologisch selbststabilisierenden Protokollen auf das Konzept von verteilten Hashtabellen an. Dabei zeigen wir, dass eine solche Lösung für bereits existierende verteilte Hashtabellen möglich ist und entwickeln dann eine weitere verteilte Hashtabelle, die heterogene Kapazitäten unterstützt. Zum Schluss betrachten wir, wie verteilte Hashtabellen erweitert werden können, sodass nicht nur exakte Suchanfragen sondern auch Suchanfragen nach ähnlichen Schlüsseln unterstützt werden.This thesis considers problems located in the fields of distributed systems and local algorithms. In particular we consider such systems given by specific topologies of interconnected nodes and want to examine whether these topologies can be rebuilt in case the network is (massively) changed by failing or joining nodes or edges. For this case we search for local distributed algorithms, i.e. the algorithms are executed on every single node and only use local information stored at the nodes like their neighborhood of nodes. By executing these algorithms we will show that the desired goal topologies can be reached from any weakly connected start topology. We call this property of an algorithm topological self-stabilization and motivate it by the increasing usage of peer-to-peer (P2P) systems and of cloud computing. In both cases the user or owner of the data and executed algorithms cannot control the resources and their connectivity. In order to analyze topological self-stabilizing algorithms or protocols we introduce suited models. For some specific topologies we then present and analyze topological self-stabilizing protocols. We consider topologies like a sorted list of nodes, which we use as a simple introductory example. We then proceed with more complex topologies like a specific small-world network and a clique. We then show that the concept of topological self-stabilization can be used for distributed hash tables. In particular we show that for existing distributed hash tables a topological self-stabilizing protocol canbe found. We also construct a new overlay network, that builds a distributed hash table that supports heterogeneous capacities, and a corresponding topological self-stabilizing protocol. At last we leave the concept of topological self-stabilization behind and instead show how to extend the usage of distributed hash tables, in order to answer more than only exact queries.Tag der Verteidigung: 21.05.2015Paderborn, Univ., Diss., 201