47 research outputs found

    LIPIcs, Volume 251, ITCS 2023, Complete Volume

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    LIPIcs, Volume 261, ICALP 2023, Complete Volume

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    New results for the random nearest neighbor tree

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    In this paper, we study the online nearest neighbor random tree in dimension dNd\in \mathbb N (called dd-NN tree for short) defined as follows. We fix the torus Tnd\mathbb T^d_n of dimension dd and area nn and equip it with the metric inherited from the Euclidean metric in Rd\mathbb R^d. Then, embed consecutively nn vertices in Tnd\mathbb T^d_n uniformly at random and independently, and let each vertex but the first one connect to its (already embedded) nearest neighbor. Call the resulting graph GnG_n. We show multiple results concerning the degree sequence of GnG_n. First, we prove that typically the number of vertices of degree at least kNk\in \mathbb N in the dd-NN tree decreases exponentially with kk and is tightly concentrated by a new Lipschitz-type concentration inequality that may be of independent interest. Second, we obtain that the maximum degree of GnG_n is of logarithmic order. Third, we give explicit bounds for the number of leaves that are independent of the dimension and also give estimates for the number of paths of length two. Moreover, we show that typically the height of a uniformly chosen vertex in GnG_n is (1+o(1))logn(1+o(1))\log n and the diameter of Tnd\mathbb T^d_n is (2e+o(1))logn(2e+o(1))\log n, independently of the dimension. Finally, we define a natural infinite analog GG_{\infty} of GnG_n and show that it corresponds to the local limit of the sequence of finite graphs (Gn)n1(G_n)_{n \ge 1}. Moreover, we prove almost surely that GG_{\infty} is locally finite, that the simple random walk on GG_{\infty} is recurrent, and that GG_{\infty} is connected

    LIPIcs, Volume 244, ESA 2022, Complete Volume

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    The degree-restricted random process is far from uniform

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    The degree-restricted random process is a natural algorithmic model for generating graphs with degree sequence D_n=(d_1, \ldots, d_n): starting with an empty n-vertex graph, it sequentially adds new random edges so that the degree of each vertex v_i remains at most d_i. Wormald conjectured in 1999 that, for d-regular degree sequences D_n, the final graph of this process is similar to a uniform random d-regular graph. In this paper we show that, for degree sequences D_n that are not nearly regular, the final graph of the degree-restricted random process differs substantially from a uniform random graph with degree sequence D_n. The combinatorial proof technique is our main conceptual contribution: we adapt the switching method to the degree-restricted process, demonstrating that this enumeration technique can also be used to analyze stochastic processes (rather than just uniform random models, as before).Comment: 32 pages, 3 figure

    Lawrence University Course Catalog, 2022-2023

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    https://lux.lawrence.edu/coursecatalogs/1020/thumbnail.jp

    Lawrence University Course Catalog, 2021-2022

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    https://lux.lawrence.edu/coursecatalogs/1019/thumbnail.jp

    EUROCOMB 21 Book of extended abstracts

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    Complexity in the entangled bank: On the structural and dynamical properties of empirical mutualistic networks

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    El mutualismo, que durante largo tiempo había sido considerado un tipo de interacción fascinante pero marginalmente relevante, es reconocido hoy en día por desempeñar un papel crucial en la formación de los ecosistemas. En esta tesis analizamos la complejidad del rico entrelazado que forman estas relaciones ecológicas en los sistemas naturales, o lo que Darwin célebremente llamó el `ribazo enmarañado’, desde el punto de vista del formalismo de redes.En la primera parte de la tesis nos centramos en estudiar el origen de la arquitectura de las redes mutualistas. En detalle, a partir de la aplicación de conceptos de la teoría de la información y la física estadística, abordamos la cuestión de la emergencia de un ubicuo patrón estructural conocido como anidamiento. A través del análisis de un vasto conjunto de redes empíricas, mostramos que unas pocas asunciones mínimas sobre el número de interacciones mutualistas por especie junto con el efecto del azar son condiciones suficientes para reproducir la estructura observada –sin necesidad de suponer la intervención de fuerzas selectivas o procesos mecanicistas. En este sentido, nuestros resultados muestran que la estructura global de las comunidades mutualistas puede explicarse, en términos estadísticos, a partir de las propiedades locales del sistema. En segundo lugar, exploramos también cómo las diferentes métricas propuestas en la literatura cuantifican el anidamiento, evaluando su eficacia tanto en redes reales como sintéticas. Nuestros resultados indican que la comparación y clasificación de patrones anidados correspondientes a distintos ecosistemas es entorpecida, sustancialmente, por la existencia de dependencias respecto a otros parámetros de la red.En la segunda parte de esta tesis, continuamos profundizando en el estudio de la organización de comunidades mutualistas pero abordando un desafío distinto, concretamente el de superar el paradigma de agregación temporal de las redes. Para empezar, caracterizamos un conjunto de redes empíricas y evaluamos cómo la incorporación de información detallada sobre la variabilidad temporal modifica la descripción estática del sistema. A continuación, proponemos un grupo de modelos que permite generar, bajo diversos supuestos, configuraciones sintéticas de fenología compatibles con una red determinada. Encontramos que, si bien la idoneidad de los modelos mecanicistas para producir configuraciones realistas depende en gran medida del sistema estudiado, un modelo estadístico basado en el principio de máxima entropía se comporta generalmente bien independientemente de los detalles de la red. Basándonos en estos resultados, exploramos brevemente las consecuencias dinámicas, específicamente para la persistencia de las especies, de tener en cuenta la dimensión temporal de la red de interacciones. En particular, observamos que las especies con un período de actividad corto se enfrentan a una mayor incertidumbre frente a perturbaciones externas. Este enfoque preliminar, sin embargo, requiere investigaciones más detalladas, especialmente en el contexto del cambio climático.En conjunto, a lo largo de esta tesis analizamos cómo se puede utilizar el lenguaje de redes para estudiar la complejidad de los sistemas mutualistas naturales, evaluando por un lado la información mínima requerida para comprender el `ribazo enmarañado', y por otro lado, identificando las limitaciones de la aún predominante representación estática de los ecosistemas.<br /
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