47 research outputs found
LIPIcs, Volume 251, ITCS 2023, Complete Volume
LIPIcs, Volume 251, ITCS 2023, Complete Volum
LIPIcs, Volume 261, ICALP 2023, Complete Volume
LIPIcs, Volume 261, ICALP 2023, Complete Volum
New results for the random nearest neighbor tree
In this paper, we study the online nearest neighbor random tree in dimension
(called -NN tree for short) defined as follows. We fix the
torus of dimension and area and equip it with the
metric inherited from the Euclidean metric in . Then, embed
consecutively vertices in uniformly at random and
independently, and let each vertex but the first one connect to its (already
embedded) nearest neighbor. Call the resulting graph .
We show multiple results concerning the degree sequence of . First, we
prove that typically the number of vertices of degree at least
in the -NN tree decreases exponentially with and is tightly concentrated
by a new Lipschitz-type concentration inequality that may be of independent
interest. Second, we obtain that the maximum degree of is of logarithmic
order. Third, we give explicit bounds for the number of leaves that are
independent of the dimension and also give estimates for the number of paths of
length two. Moreover, we show that typically the height of a uniformly chosen
vertex in is and the diameter of is
, independently of the dimension.
Finally, we define a natural infinite analog of and show
that it corresponds to the local limit of the sequence of finite graphs
. Moreover, we prove almost surely that is
locally finite, that the simple random walk on is recurrent, and
that is connected
LIPIcs, Volume 244, ESA 2022, Complete Volume
LIPIcs, Volume 244, ESA 2022, Complete Volum
The degree-restricted random process is far from uniform
The degree-restricted random process is a natural algorithmic model for
generating graphs with degree sequence D_n=(d_1, \ldots, d_n): starting with an
empty n-vertex graph, it sequentially adds new random edges so that the degree
of each vertex v_i remains at most d_i. Wormald conjectured in 1999 that, for
d-regular degree sequences D_n, the final graph of this process is similar to a
uniform random d-regular graph.
In this paper we show that, for degree sequences D_n that are not nearly
regular, the final graph of the degree-restricted random process differs
substantially from a uniform random graph with degree sequence D_n. The
combinatorial proof technique is our main conceptual contribution: we adapt the
switching method to the degree-restricted process, demonstrating that this
enumeration technique can also be used to analyze stochastic processes (rather
than just uniform random models, as before).Comment: 32 pages, 3 figure
Lawrence University Course Catalog, 2022-2023
https://lux.lawrence.edu/coursecatalogs/1020/thumbnail.jp
Lawrence University Course Catalog, 2021-2022
https://lux.lawrence.edu/coursecatalogs/1019/thumbnail.jp
Complexity in the entangled bank: On the structural and dynamical properties of empirical mutualistic networks
El mutualismo, que durante largo tiempo había sido considerado un tipo de interacción fascinante pero marginalmente relevante, es reconocido hoy en día por desempeñar un papel crucial en la formación de los ecosistemas. En esta tesis analizamos la complejidad del rico entrelazado que forman estas relaciones ecológicas en los sistemas naturales, o lo que Darwin célebremente llamó el `ribazo enmarañado’, desde el punto de vista del formalismo de redes.En la primera parte de la tesis nos centramos en estudiar el origen de la arquitectura de las redes mutualistas. En detalle, a partir de la aplicación de conceptos de la teoría de la información y la física estadística, abordamos la cuestión de la emergencia de un ubicuo patrón estructural conocido como anidamiento. A través del análisis de un vasto conjunto de redes empíricas, mostramos que unas pocas asunciones mínimas sobre el número de interacciones mutualistas por especie junto con el efecto del azar son condiciones suficientes para reproducir la estructura observada –sin necesidad de suponer la intervención de fuerzas selectivas o procesos mecanicistas. En este sentido, nuestros resultados muestran que la estructura global de las comunidades mutualistas puede explicarse, en términos estadísticos, a partir de las propiedades locales del sistema. En segundo lugar, exploramos también cómo las diferentes métricas propuestas en la literatura cuantifican el anidamiento, evaluando su eficacia tanto en redes reales como sintéticas. Nuestros resultados indican que la comparación y clasificación de patrones anidados correspondientes a distintos ecosistemas es entorpecida, sustancialmente, por la existencia de dependencias respecto a otros parámetros de la red.En la segunda parte de esta tesis, continuamos profundizando en el estudio de la organización de comunidades mutualistas pero abordando un desafío distinto, concretamente el de superar el paradigma de agregación temporal de las redes. Para empezar, caracterizamos un conjunto de redes empíricas y evaluamos cómo la incorporación de información detallada sobre la variabilidad temporal modifica la descripción estática del sistema. A continuación, proponemos un grupo de modelos que permite generar, bajo diversos supuestos, configuraciones sintéticas de fenología compatibles con una red determinada. Encontramos que, si bien la idoneidad de los modelos mecanicistas para producir configuraciones realistas depende en gran medida del sistema estudiado, un modelo estadístico basado en el principio de máxima entropía se comporta generalmente bien independientemente de los detalles de la red. Basándonos en estos resultados, exploramos brevemente las consecuencias dinámicas, específicamente para la persistencia de las especies, de tener en cuenta la dimensión temporal de la red de interacciones. En particular, observamos que las especies con un período de actividad corto se enfrentan a una mayor incertidumbre frente a perturbaciones externas. Este enfoque preliminar, sin embargo, requiere investigaciones más detalladas, especialmente en el contexto del cambio climático.En conjunto, a lo largo de esta tesis analizamos cómo se puede utilizar el lenguaje de redes para estudiar la complejidad de los sistemas mutualistas naturales, evaluando por un lado la información mínima requerida para comprender el `ribazo enmarañado', y por otro lado, identificando las limitaciones de la aún predominante representación estática de los ecosistemas.<br /