Langage C++ et calcul scientifique

Table des matières 1 Introduction à l'algorithmique numérique en C++ 1.1 Quaternions 1.2 Analyse asymptotique des algorithmes 2 Transformée de Fourier et applications 2.1 Transformée de Fourier 2.2 Discrétisation de problèmes aux limites 2.3 Application aux différences finies multi-dimensionnelles 3 Matrices creuses et méthode des éléments finis 3.1 Algorithme du gradient conjugué 3.2 Matrices creuses 3.3 Maillages 3.4 Méthode des éléments finis A Pré- et post-traitements A.1 Ordonnancement et visualisation des matrices creuses A.2 Génération et visualisation de maillages A.3 Visualisation des solutions de type éléments finis B Corrigé des exercicesDEALa simulation numérique est devenue essentielle dans de nombreux domaines tels que la mécanique des fluides et des solides, la météo, l'évolution du climat, la biologie ou les semi-conducteurs. Elle permet de comprendre, de prévoir, d'accéder là où les instruments de mesures s'arrêtent. Ce livre présente des méthodes performantes du calcul scientifique : matrices creuses, résolution efficace des grands systèmes linéaires, ainsi que de nombreuses applications à la résolution par éléments finis et différences finies. Alternant algorithmes et applications, les programmes sont directement présentés en langage C++. Ils sont sous forme concise et claire, et utilisent largement les notions de classe et de généricité du langage C++. Le contenu de ce livre a fait l'objet de cours de troisième année à l'école nationale supérieure d'informatique et de mathématiques appliquées de Grenoble (ENSIMAG) ainsi qu'au mastère de mathématiques appliquées de l'université Joseph Fourier. Des connaissances de base d'algèbre matricielle et de programmation sont recommandées. La maîtrise du contenu de cet ouvrage permet d'appréhender les principaux paradigmes de programmation du calcul scientifique. Il est alors possible d'appliquer ces paradigmes pour aborder des problèmes d'intérêt pratique, tels que la résolution des équations aux dérivées partielles, qui est abordée au cours de ce livre. La diversité des sujets abordés, l'efficacité des algorithmes présentés et leur écriture directe en langage C++ font de cet ouvrage un recueil fort utile dans la vie professionnelle d'un ingénieur. Le premier chapitre présente les bases fondamentales pour la suite : présentation du langage C++ à travers la conception d'une classe de quaternions et outils d'analyse asymptotique du temps de calcul des algorithmes. Le second chapitre aborde l'algorithme de transformée de Fourier rapide et développe deux applications à la discrétisation d'équations aux dérivées partielles par la méthode des différences finies. Le troisième chapitre est dédié aux matrices creuses et à l'algorithme du gradient conjugué. Ces notions sont appliquées à la méthode des éléments finis. En annexe sont groupés des exemples de génération de maillage et de visualisation graphique. S'il est cependant recommandé de maîtriser les notions du premier chapitre pour aborder le reste du livre, les chapitres deux et trois sont complètement indépendants et peuvent être abordés séparément. Ces chapitres sont complétés par des exercices qui en constituent des développements, ainsi que des notes bibliographiques retraçant l'historique des travaux et fournissant des références sur des logiciels et librairies récents implémentant ou étendant les algorithmes présentés. Les codes C++ présentés au long de ce livre ainsi que dans les exercices sont disponibles librement à l'adresse \url{http://www-ljk.imag.fr/membres/Pierre.Saramito/books} sous la licence GNU public licence. Ce livre est publié sous licence GNU FDL avec les références suivantes : P. Saramito, Language C++ et calcul scientifique, College Publications, London, 2013. ISBN 978-1-84890-101-8

Contribution à la cartographie d’une matrice de flux

We consider a flow matrice where the (1,…,i ,… k) rows and the (1, …,j ,…, p) columns are respectively origin and destination place linked by a flow values (Fij). Mapping flow aims to project values on a map depicting generally a geographic space, using linear and punctual features. When the matrice is dense, this well known approach leads theoretical and methodological difficulties, graphics constraints, technical and technological challenges that must be addressed in order to solve the graphic complexity that appears: the so-called spaghetti effect. The traditional answer is to simplify the figure by selecting flows and or by reducing their resolution. If the result is really effective, it does not interest the flow mapping cartographic process. What are the reasons? Does this mean that solutions to flow mapping problems are only relate to digital or cartographic data? What is really the meaning of flow mapping? This thesis is part of the overall objective of reducing analytic and graphical complexity of flow mapping. Consisting of nine chapters divided into two parts, it offers four families of theoretical and methodological contributions. The first part is to familiarize ourselves with the construction of matrices, their (carto)graphic presentation and constraints that result. The second part offers a range of non-exhaustive and operational solutions to solve a variety of problems related to reduce the analytical and visual complexity of flow mapping. The approach wanting general and generalizable, the proposed solutions are validated empirically on migration or trade flow matrices that are expressed at different geographical scales (from local to global).Une matrice de flux est un tableau croisé formé de (1,…,i ,… k) lignes et de (1, …,j ,…, p) colonnes, respectivement lieux d’origine et de destination, dont le croisement forme une valeur quantitative : le flux (Fij). Sa cartographie a pour objectif de représenter graphiquement ces valeurs. Pour cela, elle les transforme en figurés linéaires, ponctuels et/ou zonaux puis les projette dans un espace assorti d’une métrique communément géographique. Lorsque la matrice est dense, cette approche pourtant bien connue pose de nombreuses difficultés d’ordres méthodologique et pratique, des contraintes graphiques et des défis techniques et technologiques qu’il convient de résoudre au risque de produire une figure illisible, caractéristique de l’effet spaghetti. La réponse traditionnellement apportée consiste à simplifier la figure en sélectionnant l’information à représenter et/ou en réduisant sa résolution. Essentiellement numérique ou technologique, elle ne s’inscrit pas dans un raisonnement théorique et conceptuel qui intéresse le processus de construction cartographique. Quelles en sont les raisons ? Est-ce à dire que les solutions à ces problèmes cartographiques seraient exclusivement numériques ? Que signifie in fine représenter des valeurs de flux sur une carte ? La thèse s’inscrit dans l’objectif général de réduction de la complexité inhérente au processus de cartographie d’une matrice de flux. Composée de neuf chapitres répartis en deux parties, elle propose quatre familles de contributions théoriques et méthodologiques. La première partie vise à se familiariser avec la construction des matrices, leurs représentations (carto)graphiques et les contraintes qui en découlent. La seconde partie propose un éventail de solutions non exhaustives et opérationnelles, permettant de résoudre une sélection de problèmes liés à la complexité visuelle : graphique et analytique de la carte de flux, L’approche se voulant générale et généralisable, les solutions proposées sont validées empiriquement sur des matrices de flux migratoires ou commerciaux qui s’expriment à différentes échelles géographiques (de l’échelle locale au niveau mondial)