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minimum dominating set of queens: A trivial programming exercise?
Abstractminimum dominating set of queens is one of the typical programming exercises of a first yearâs computer science course. However, little work has been published on the complexity of this problem. We analyse here several algorithms and show that advanced algorithmic techniques may dramatically speed up solving this problem
Eigenschaften kleinster dominierender Mengen und Dominanzzahlen von Damengraphen
Motiviert durch ein klassisches Schachproblem wird die Frage nach der MĂ€chtigkeit einer kleinsten dominierenden Menge bzw. kleinsten unabhĂ€ngigen dominierenden Menge des Damengraphen Q_n untersucht. Im Damengraph korrespondiert jeder Knoten zu einem Feld auf dem (n x n)-Schachbrett und zwei Knoten sind genau dann benachbart, wenn die zugehörigen Felder in derselben Zeile, Spalte oder Diagonale liegen. Im Detail wird gezeigt, dass jede p-Ăberdeckung von Q_n mit n>=19 beide langen Diagonalen durch zwei Eckfelder besetzt und daher diese Voraussetzung in der bekannten Charakterisierung mittels besetzter Diagonalen nicht einschrĂ€nkend ist. Die Klasse der p-Ăberdeckungen wird zu orthodoxen Ăberdeckungen verallgemeinert und deren Relevanz durch Angabe entsprechender kleinster dominierender Mengen nachgewiesen. FĂŒr n=6(mod 8) mit n>=96 wird gezeigt, dass keine nicht-orthodoxe Ăberdeckung D von Q_n mit |D|=n/2 existiert. Zusammen mit einer hergeleiteten notwendigen Bedingung fĂŒr die Existenz einer orthodoxen Ăberdeckung der GröĂe n/2 wird so in vielen FĂ€llen die untere Schranke auf n/2 + 1 verschĂ€rft, was den Beweis einiger neuer Dominanzzahlen ermöglicht. Durch Angabe konkreter dominierender Mengen der MĂ€chtigkeit (n+1)/2 werden Dominanzzahlen fĂŒr folgende Instanzen bewiesen: n=43, 55, 83, 99, 107, 133, 137, 141, 143, 145, 149, 153, 157, 161, 163, 165, 169, 173, 177, 181, 183, 185, 189, 193, 197, 213 und 221. Durch Angabe konkreter unabhĂ€ngiger dominierender Mengen der MĂ€chtigkeit (n+1)/2 werden Dominanzzahlen fĂŒr folgende Instanzen bewiesen: n=117, 121, 129, 141, 145, 157, 161, 165, 177, 185 und 189. Weiter wird ein Computerbeweis dafĂŒr erbracht, dass die Dominanzzahl folgender Instanzen n/2 + 1 betrĂ€gt: n=102, 110, 118, 126, 134, 142, 150, 158, 166, 174, 182, 190, 198, 214 und 222