Definite integrals and operational methods

An operatorial method, already employed to formulate a generalization of the Ramanujan master theorem, is applied to the evaluation of integrals of various type. This technique provide a very flexible and powerful tool yielding new results encompassing various aspects of the special function theory.Comment: 9 pages; minor changes to match published versio

The Ramanujan master theorem and its implications for special functions

We study a number of possible extensions of the Ramanujan master theorem, which is formulated here by using methods of Umbral nature. We discuss the implications of the procedure for the theory of special functions, like the derivation of formulae concerning the integrals of products of families of Bessel functions and the successive derivatives of Bessel type functions. We stress also that the procedure we propose allows a unified treatment of many problems appearing in applications, which can formally be reduced to the evaluation of exponential- or Gaussian-like integrals.Comment: 12 page

Generalización de polinomios de Hermite en la descripción de polinomios de tipo Chebyshev

Tesis inédita de la Universidad Complutense de Madrid, Facultad de Ciencias Matemáticas, Departamento de Matemática Aplicada, leída el 21-05-2015En esta memoria se obtienen y analizan algunos modelos matemáticos de remodelación y reparación ósea. Para ello, y tras un primer capítulo introductorio en el que se presentan resultados preliminares para los estudios posteriores, se aborda en el Capítulo 2 la modelización del mecanismo de mantenimiento que tiene lugar a lo largo de la vida de cada persona, y en virtud del cual en pequeñas regiones del esqueleto el hueso viejo es reemplazado por el nuevo de manera que la cantidad total de hueso permanece constante.En concreto, en el capítulo 2 se formula un modelo matemático mínimo para el funcionamiento de las llamadas BMU Basic Multicellular Units, grupos de células diferenciadas que actúan coordinadamente para eliminar hueso en regiones marcadas para ello generalmente mediante señales emitidas por osteocitos, que actúan como sensores mecánicos y a continuación generan una matriz extracelular que, tras su mineralización, da lugar al nuevo hueso que reemplaza al antiguo. La actuación de tales unidades orgánicas es conocida desde los años 60 del siglo pasado, y aunque su esquema general de actuación es conocido, y muchas de las señales químicas involucradas han sido identificadas, el mecanismo preciso por el que tales unidades se forman cuando es necesario y se deshacen una vez cumplida su tarea, sigue sin ser bien conocido.Proponemos un modelo operativo simple para BMUs, que se basa en las siguientes hipótesis. En primer lugar, cada célula en una BMU puede elegir una entre un número muy limitado de posibles acciones a realizar dividirse, diferenciarse a otro tipo celular o morir. El resultado de esta suma de decisiones individuales independientes es una acción coordinada y perfectamente regulada, que permite remodelar la zona elegida para ello de manera robusta y eficaz, como se observa mediante el análisis de los resultados obtenidos al simular el modelo correspondiente, y que se presentan en el mismo capítulo.En el tercer capítulo de esta memoria se estudia la sucesión de procesos que tienen lugar en las etapas tempranas de la reparación del hueso después de producirse una fractura, y que son cruciales para una completa curación del mismo. Se propone un modelo matemático que permite estimar los tiempos característicos de tales procesos en términos de sus parámetros cinéticos. Para ello, se analizan tales etapas de manera separada, hasta la formación del primer callo fibroso, que proporciona el molde básico sobre el que posteriores procesos de remodelación no estudiados en esta memoria darán finalmente lugar a nuevo tejido óseo, plenamente funcional.El modelo propuesto es de tipo modular, de modo que consiste en una concatenación de modelos simples que se suceden uno a uno hasta completar la etapa temprana de reparación estudiada. Se comienza por describir la formación de un coágulo sanguíneo inducido por la fractura, cuya aparición se caracteriza como una transición de fase tipo sol-gel, en la que el coágulo resultante es descrito como un gel. La formación de dicho coágulo, que debe conectar los bordes de la fractura proporcionando una primera unión entre ambos, es condición necesaria para el éxito del proceso completo de reparación . Tras proponer un modelo de tipo clásico para la difusión del factor de crecimiento, se obtiene una solución explícita para dicha función, cuyo gradiente provoca el movimiento por quimiotaxis de las células mesenquimales desde el borde la fractura hacia su interior.Depto. de Análisis Matemático y Matemática AplicadaFac. de Ciencias MatemáticasTRUEunpu

From Hermite to Humbert polynomials

We use the multivariable Hermite polynomials to derive integral representations of Chebyshev and Gegenbauer polynomials. It is shown that most of the properties of these classes of polynomials can be deduced in a fairly straightforward way from this representation, which proves a unifying framework for a large body of polynomial families, including forms of the Humbert and Bessel type, which are a natural consequence of the point of view developed in this paper

On an Umbral Point of View of the Gaussian and Gaussian-like Functions

The theory of Gaussian functions is reformulated using an umbral point of view. The symbolic method we adopt here allows an interpretation of the Gaussian in terms of a Lorentzian image function. The formalism also suggests the introduction of a new point of view of trigonometry, opening a new interpretation of the associated special functions. The Erfi ( x ) , is, for example, interpreted as the “sine” of the Gaussian trigonometry. The possibilities offered by the Umbral restyling proposed here are noticeable and offered by the formalism itself. We mention the link between higher-order Gaussian trigonometric functions, Hermite polynomials, and the possibility of introducing new forms of distributions with longer tails than the ordinary Gaussians. The possibility of framing the theoretical content of the present article within a redefinition of the hypergeometric function is eventually discussed

An operational point of view to the theory of multi-variable/multi-index Hermite polynomials

The use of algebraic tools of operational and umbral nature is exploited to develop a new point of view and to extend the theory of Hermite polynomials, with more than one variable also of complex nature. The techniques we adopt includes multivariable/many index Hermite- Kampe-de-Feriet polynomials of order two and higher. It will be shown that the treatment, foreseen here, simplifies the study of the relevant properties and the associated computational technicalities