Control norms for large control times

Abstract. A control system of the second order in time with control u = u(t) 2 L2([0; T];U) is considered. If the system is controllable in a strong sense and uT is the control steering the system to the rest at time T, then the L2{norm of uT decreases as 1= p T while the L1([0; T];U){norm of uT is approximately constant. The proof is based on the moment approach and properties of the relevant exponential family. Results are applied to the wave equation with boundary or distributed controls. Resume. On considere un systeme du second ordre a contrôler en temps avec une fonction u = u(t) 2 L2([0; T];U). Si le systeme est contrôlable au sens fort et uT est la fonction de contrôle qui gouverne le systeme a partir du temps T, alors la norme L2 de uT decrôt comme 1= p T tandis que sa norme L1([0; T];U) est approximativement constante. La preuve est basee sur la theorie des moments et les proprietes d’une famille appropriee d’exponentielles. Ces resultats sont ensuite appliques aux equations d’onde avec contrôle au bord et contrôle distribue. AMS Subject Classication. 93B05, 42C15