Lower bounds of static Lovász-Schrijver calculus proofs for Tseitin tautologies

We prove an exponential lower bound on the size of static Lovász-Schrijver proofs of Tseitin tautologies. We use several techniques, namely, translating static LS+ proof into Positivstellensatz proof of Grigoriev et al., extracting a “good ” expander out of a given graph by removing edges and vertices of Alekhnovich et al., and proving linear lower bound on the degree of Positivstellensatz proofs for Tseitin tautologies.

Системы доказательств, основанные на диаграммах принятия решений

Мы изучаем сложность цейтинских формул T(G, c), построенных на графах G(V, E). Основной рассматриваемой моделью вычислений в работе является однопроходная ветвящаяся программа (1-BP). Мы описываем структуру 1-BP, решающих задачу SearchVertex(G, c) поиска вершины с нарушенным условием чётности для невыполнимой T(G, c). По такой программе размера S мы строим: (1) 1-BP размера S^O(log |V|), вычисляющую значение выполнимой T(G, c'); (2) вывод отрицания формулы T(G, c) в системе Фреге константной глубины размера S * poly(|T(G, c)|). Из (1) следует, что если размер регулярного резолюционного опровержения T(G, c) равен S, то размер 1-BP, вычисляющей значение выполнимой T(G, c'), не больше S^O(log |V|).We study the complexity of Tseitin formulas T(G, c) based on graphs G(V, E). The main computational model in this work is the read-once branching program (1-BP). We describe the structure of 1-BP that solve the problem SearchVertex(G, c) of search a vertex with the falsified parity condition for an unsatisfiable T(G, c). Given such a program of size S, we build: (1) 1-BP of size S^O(log |V|) computing the value of the satisfiable T(G, c'); (2) a derivation of the negation of the formula T(G, c) in constant-depth Frege system of size S * poly(|T(G, c)|). Item (1) implies that if the size of regular resolution refutation of an unsatisfiable T(G, c) equals S, then the size of 1-BP computing the value of the satisfiable T(G, c') is at most S^O(log |V|)