Interpretable Hyperspectral AI: When Non-Convex Modeling meets Hyperspectral Remote Sensing

Hyperspectral imaging, also known as image spectrometry, is a landmark technique in geoscience and remote sensing (RS). In the past decade, enormous efforts have been made to process and analyze these hyperspectral (HS) products mainly by means of seasoned experts. However, with the ever-growing volume of data, the bulk of costs in manpower and material resources poses new challenges on reducing the burden of manual labor and improving efficiency. For this reason, it is, therefore, urgent to develop more intelligent and automatic approaches for various HS RS applications. Machine learning (ML) tools with convex optimization have successfully undertaken the tasks of numerous artificial intelligence (AI)-related applications. However, their ability in handling complex practical problems remains limited, particularly for HS data, due to the effects of various spectral variabilities in the process of HS imaging and the complexity and redundancy of higher dimensional HS signals. Compared to the convex models, non-convex modeling, which is capable of characterizing more complex real scenes and providing the model interpretability technically and theoretically, has been proven to be a feasible solution to reduce the gap between challenging HS vision tasks and currently advanced intelligent data processing models

Subspace Structure Regularized Nonnegative Matrix Factorization for Hyperspectral Unmixing

Hyperspectral unmixing is a crucial task for hyperspectral images (HSI) processing, which estimates the proportions of constituent materials of a mixed pixel. Usually, the mixed pixels can be approximated using a linear mixing model. Since each material only occurs in a few pixels in real HSI, sparse nonnegative matrix factorization (NMF) and its extensions are widely used as solutions. Some recent works assume that materials are distributed in certain structures, which can be added as constraints to sparse NMF model. However, they only consider the spatial distribution within a local neighborhood and define the distribution structure manually, while ignoring the real distribution of materials that is diverse in different images. In this paper, we propose a new unmixing method that learns a subspace structure from the original image and incorporate it into the sparse NMF framework to promote unmixing performance. Based on the self-representation property of data points lying in the same subspace, the learned subspace structure can indicate the global similar graph of pixels that represents the real distribution of materials. Then the similar graph is used as a robust global spatial prior which is expected to be maintained in the decomposed abundance matrix. The experiments conducted on both simulated and real-world HSI datasets demonstrate the superior performance of our proposed method

Hyperspectral Unmixing Overview: Geometrical, Statistical, and Sparse Regression-Based Approaches

Imaging spectrometers measure electromagnetic energy scattered in their instantaneous field view in hundreds or thousands of spectral channels with higher spectral resolution than multispectral cameras. Imaging spectrometers are therefore often referred to as hyperspectral cameras (HSCs). Higher spectral resolution enables material identification via spectroscopic analysis, which facilitates countless applications that require identifying materials in scenarios unsuitable for classical spectroscopic analysis. Due to low spatial resolution of HSCs, microscopic material mixing, and multiple scattering, spectra measured by HSCs are mixtures of spectra of materials in a scene. Thus, accurate estimation requires unmixing. Pixels are assumed to be mixtures of a few materials, called endmembers. Unmixing involves estimating all or some of: the number of endmembers, their spectral signatures, and their abundances at each pixel. Unmixing is a challenging, ill-posed inverse problem because of model inaccuracies, observation noise, environmental conditions, endmember variability, and data set size. Researchers have devised and investigated many models searching for robust, stable, tractable, and accurate unmixing algorithms. This paper presents an overview of unmixing methods from the time of Keshava and Mustard's unmixing tutorial [1] to the present. Mixing models are first discussed. Signal-subspace, geometrical, statistical, sparsity-based, and spatial-contextual unmixing algorithms are described. Mathematical problems and potential solutions are described. Algorithm characteristics are illustrated experimentally.Comment: This work has been accepted for publication in IEEE Journal of Selected Topics in Applied Earth Observations and Remote Sensin

Bi-Objective Nonnegative Matrix Factorization: Linear Versus Kernel-Based Models

Nonnegative matrix factorization (NMF) is a powerful class of feature extraction techniques that has been successfully applied in many fields, namely in signal and image processing. Current NMF techniques have been limited to a single-objective problem in either its linear or nonlinear kernel-based formulation. In this paper, we propose to revisit the NMF as a multi-objective problem, in particular a bi-objective one, where the objective functions defined in both input and feature spaces are taken into account. By taking the advantage of the sum-weighted method from the literature of multi-objective optimization, the proposed bi-objective NMF determines a set of nondominated, Pareto optimal, solutions instead of a single optimal decomposition. Moreover, the corresponding Pareto front is studied and approximated. Experimental results on unmixing real hyperspectral images confirm the efficiency of the proposed bi-objective NMF compared with the state-of-the-art methods

Image Processing and Machine Learning for Hyperspectral Unmixing: An Overview and the HySUPP Python Package

Spectral pixels are often a mixture of the pure spectra of the materials, called endmembers, due to the low spatial resolution of hyperspectral sensors, double scattering, and intimate mixtures of materials in the scenes. Unmixing estimates the fractional abundances of the endmembers within the pixel. Depending on the prior knowledge of endmembers, linear unmixing can be divided into three main groups: supervised, semi-supervised, and unsupervised (blind) linear unmixing. Advances in Image processing and machine learning substantially affected unmixing. This paper provides an overview of advanced and conventional unmixing approaches. Additionally, we draw a critical comparison between advanced and conventional techniques from the three categories. We compare the performance of the unmixing techniques on three simulated and two real datasets. The experimental results reveal the advantages of different unmixing categories for different unmixing scenarios. Moreover, we provide an open-source Python-based package available at https://github.com/BehnoodRasti/HySUPP to reproduce the results

Dictionary-based Tensor Canonical Polyadic Decomposition

To ensure interpretability of extracted sources in tensor decomposition, we introduce in this paper a dictionary-based tensor canonical polyadic decomposition which enforces one factor to belong exactly to a known dictionary. A new formulation of sparse coding is proposed which enables high dimensional tensors dictionary-based canonical polyadic decomposition. The benefits of using a dictionary in tensor decomposition models are explored both in terms of parameter identifiability and estimation accuracy. Performances of the proposed algorithms are evaluated on the decomposition of simulated data and the unmixing of hyperspectral images

Nonconvex Optimization Algorithms for Structured Matrix Estimation in Large-Scale Data Applications

Το πρόβλημα της εκτίμησης δομημένου πίνακα ανήκει στην κατηγορία των προβλημάτων εύρεσης αναπαραστάσεων χαμηλής διάστασης (low-dimensional embeddings) σε δεδομένα υψηλής διάστασης. Στις μέρες μας συναντάται σε μια πληθώρα εφαρμογών που σχετίζονται με τις ερευνητικές περιοχές της επεξεργασίας σήματος και της μηχανικής μάθησης. Στην παρούσα διατριβή προτείνονται νέοι μαθηματικοί φορμαλισμοί σε τρία διαφορετικά προβλήματα εκτίμησης δομημένων πινάκων από δεδομένα μεγάλης κλίμακας. Πιο συγκεκριμένα, μελετώνται τα ερευνητικά προβλήματα α) της εκτίμησης πίνακα που είναι ταυτόχρονα αραιός, χαμηλού βαθμού και μη-αρνητικός, β) της παραγοντοποίησης πίνακα χαμηλού βαθμού, και γ) της ακολουθιακής (online) εκτίμησης πίνακα υποχώρου (subspace matrix) χαμηλού βαθμού από ελλιπή δεδομένα. Για όλα τα προβλήματα αυτά προτείνονται καινoτόμοι και αποδοτικοί αλγόριθμοι βελτιστοποίησης (optimization algorithms). Βασική υπόθεση που υιοθετείται σε κάθε περίπτωση είναι πως τα δεδομένα έχουν παραχθεί με βάση ένα γραμμικό μοντέλο. Το σύνολο των προσεγγίσεων που ακολουθούνται χαρακτηρίζονται από μη-κυρτότητα. Όπως γίνεται φανερό στην παρούσα διατριβή, η ιδιότητα αυτή, παρά τις δυσκολίες που εισάγει στην θεωρητική τεκμηρίωση των προτεινόμενων μεθόδων (σε αντίθεση με τις κυρτές προσεγγίσεις στις οποίες η θεωρητική ανάλυση είναι σχετικά ευκολότερη), οδηγεί σε σημαντικά οφέλη όσον αφορά την απόδοσή τους σε πλήθος πραγματικών εφαρμογών. Για την εκτίμηση πίνακα που είναι ταυτόχρονα αραιός, χαμηλού βαθμού και μη-αρνητικός, προτείνονται στην παρούσα διατριβή τρεις νέοι αλγόριθμοι, από τους οποίους οι δύο πρώτοι ελαχιστοποιούν μια κοινή συνάρτηση κόστους και ο τρίτος μια ελαφρώς διαφορετική συνάρτηση κόστους. Κοινό χαρακτηριστικό και των δύο αυτών συναρτήσεων είναι ότι κατά βάση αποτελούνται από έναν όρο προσαρμογής στα δεδομένα και δύο όρους κανονικοποίησης, οι οποίοι χρησιμοποιούνται για την επιβολή αραιότητας και χαμηλού βαθμού, αντίστοιχα. Στην πρώτη περίπτωση αυτό επιτυγχάνεται με την αξιοποίηση του αθροίσματος της επανασταθμισμένης l1 νόρμας (reweighted l1 norm) και της επανασταθμισμένης πυρηνικής νόρμας (reweighted nuclear norm), οι οποίες ευθύνονται για το μη- κυρτό χαρακτήρα της προκύπτουσας συνάρτησης κόστους. Από τους δύο προτεινόμενους αλγορίθμους που ελαχιστοποιούν τη συνάρτηση αυτή, ο ένας ακολουθεί τη μέθοδο καθόδου σταδιακής εγγύτητας και ο άλλος βασίζεται στην πιο απαιτητική υπολογιστικά μέθοδο ADMM. Η δεύτερη συνάρτηση κόστους διαφοροποιείται σε σχέση με την πρώτη καθώς χρησιμοποιεί μια προσέγγιση παραγοντοποίησης για τη μοντελοποίηση του χαμηλού βαθμού του δομημένου πίνακα. Επιπλέον, λόγω της μη εκ των προτέρων γνώσης του πραγματικού βαθμού, ενσωματώνει έναν όρο επιβολής χαμηλού βαθμού, μέσω της μη- κυρτής έκφρασης που έχει προταθεί ως ένα άνω αυστηρό φράγμα της (κυρτής) πυρηνικής νόρμας (σ.σ. στο εξής θα αναφέρεται ως εναλλακτική μορφή της πυρηνικής νόρμας). Και στην περίπτωση αυτή, το πρόβλημα που προκύπτει είναι μη-κυρτό λόγω του φορμαλισμού του μέσω της παραγοντοποίησης πίνακα, ενώ η βελτιστοποίηση πραγματοποιείται εφαρμόζοντας μια υπολογιστικά αποδοτική μέθοδο καθόδου συνιστωσών ανά μπλοκ (block coordinate descent). Tο σύνολο των προτεινόμενων σχημάτων χρησιμοποιείται για τη μοντελοποίηση, με καινοτόμο τρόπο, του προβλήματος φασματικού διαχωρισμού υπερφασματικών εικόνων (ΥΦΕ). Όπως εξηγείται αναλυτικά, τόσο η αραιότητα όσο και ο χαμηλός βαθμός παρέχουν πολύτιμες ερμηνείες ορισμένων φυσικών χαρακτηριστικών των ΥΦΕ, όπως π.χ. η χωρική συσχέτιση. Πιο συγκεκριμένα, η αραιότητα και ο χαμηλός βαθμός μπορούν να υιοθετηθούν ως δομές στον πίνακα αφθονίας (abundance matrix - ο πίνακας που περιέχει τα ποσοστά παρουσίας των υλικών στην περιοχή που απεικονίζει κάθε εικονοστοιχείο). Τα σημαντικά πλεονεκτήματα που προσφέρουν οι προτεινόμενες τεχνικές, σε σχέση με ανταγωνιστικούς αλγορίθμους, αναδεικνύονται σε ένα πλήθος διαφορετικών πειραμάτων που πραγματοποιούνται τόσο σε συνθετικά όσο και σε αληθινά υπερφασματικά δεδομένα. Στο πλαίσιο της παραγοντοποίησης πίνακα χαμηλού βαθμού (low-rank matrix factorization) περιγράφονται στη διατριβή τέσσερις νέοι αλγόριθμοι, ο καθένας εκ των οποίων έχει σχεδιαστεί για μια διαφορετική έκφανση του συγκεκριμένου προβλήματος. Όλα τα προτεινόμενα σχήματα έχουν ένα κοινό χαρακτηριστικό: επιβάλλουν χαμηλό βαθμό στους πίνακες-παράγοντες καθώς και στο γινόμενό τους με την εισαγωγή ενός νέου όρου κανονικοποίησης. Ο όρος αυτός προκύπτει ως μια γενίκευση της εναλλακτικής έκφρασης της πυρηνικής νόρμας με τη μετατροπή της σε σταθμισμένη μορφή. Αξίζει να επισημανθεί πως με κατάλληλη επιλογή των πινάκων στάθμισης καταλήγουμε σε μια ειδική έκφραση της συγκεκριμένης νόρμας η οποία ανάγει την διαδικασία επιβολής χαμηλού βαθμού σε αυτή της από κοινού επιβολής αραιότητας στις στήλες των δύο πινάκων. Όπως αναδεικνύεται αναλυτικά, η ιδιότητα αυτή είναι πολύ χρήσιμη ιδιαιτέρως σε εφαρμογές διαχείρισης δεδομένων μεγάλης κλίμακας. Στα πλαίσια αυτά μελετώνται τρία πολύ σημαντικά προβλήματα στο πεδίο της μηχανικής μάθησης και συγκεκριμένα αυτά της αποθορυβοποίησης σήματος (denoising), πλήρωσης πίνακα (matrix completion) και παραγοντοποίησης μη-αρνητικού πίνακα (nonnegative matrix factorization). Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο ελαχιστοποίησης άνω φραγμάτων συναρτήσεων διαδοχικών μπλοκ (block successive upper bound minimization) αναπτύσσονται τρεις νέοι επαναληπτικά σταθμισμένοι αλγόριθμοι τύπου Newton, οι οποίοι σχεδιάζονται κατάλληλα, λαμβάνοντας υπόψη τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά του εκάστοτε προβλήματος. Τέλος, παρουσιάζεται αλγόριθμος παραγοντοποίησης πίνακα ο οποίος έχει σχεδιαστεί πάνω στην προαναφερθείσα ιδέα επιβολής χαμηλού βαθμού, υποθέτοντας παράλληλα αραιότητα στον ένα πίνακα-παράγοντα. Η επαλήθευση της αποδοτικότητας όλων των αλγορίθμων που εισάγονται γίνεται με την εφαρμογή τους σε εκτεταμένα συνθετικά πειράματα, όπως επίσης και σε εφαρμογές πραγματικών δεδομένων μεγάλης κλίμακας π.χ. αποθορυβοποίηση ΥΦΕ, πλήρωση πινάκων από συστήματα συστάσεων (recommender systems) ταινιών, διαχωρισμός μουσικού σήματος και τέλος μη-επιβλεπόμενος φασματικός διαχωρισμός. Το τελευταίο πρόβλημα το οποίο διαπραγματεύεται η παρούσα διατριβή είναι αυτό της ακολουθιακής εκμάθησης υποχώρου χαμηλού βαθμού και της πλήρωσης πίνακα. Το πρόβλημα αυτό εδράζεται σε ένα διαφορετικό πλαίσιο μάθησης, την επονομαζόμενη ακολουθιακή μάθηση, η οποία αποτελεί μια πολύτιμη προσέγγιση σε εφαρμογές δεδομένων μεγάλης κλίμακας, αλλά και σε εφαρμογές που λαμβάνουν χώρα σε χρονικά μεταβαλλόμενα περιβάλλοντα. Στην παρούσα διατριβή προτείνονται δύο διαφορετικοί αλγόριθμοι, ένας μπεϋζιανός και ένας ντετερμινιστικός. Ο πρώτος αλγόριθμος προκύπτει από την εφαρμογή μιας καινοτόμου ακολουθιακής μεθόδου συμπερασμού βασισμένου σε μεταβολές. Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται για την πραγματοποίηση προσεγγιστικού συμπερασμού στο προτεινόμενο ιεραρχικό μπεϋζιανό μοντέλο. Αξίζει να σημειωθεί πως το μοντέλο αυτό έχει σχεδιαστεί με κατάλληλο τρόπο έτσι ώστε να ενσωματώνει, σε πιθανοτικό πλαίσιο, την ίδια ιδέα επιβολής χαμηλού βαθμού που προτείνεται για το πρόβλημα παραγοντοποίησης πίνακα χαμηλού βαθμού, δηλαδή επιβάλλοντας από-κοινού αραιότητα στους πίνακες-παράγοντες. Ωστόσο, ακολουθώντας την πιθανοτική προσέγγιση, αυτό πραγματοποιείται επιβάλλοντας πολύ-επίπεδες a priori κατανομές Laplace στις στήλες τους. Ο αλγόριθμος που προκύπτει είναι πλήρως αυτοματοποιημένος, μιας και δεν απαιτεί τη ρύθμιση κάποιας παραμέτρου κανονικοποίησης. Ο δεύτερος αλγόριθμος προκύπτει από την ελαχιστοποίηση μιας κατάλληλα διαμορφωμένης συνάρτησης κόστους. Και στην περίπτωση αυτή, χρησιμοποιείται η προαναφερθείσα ιδέα επιβολής χαμηλού βαθμού (κατάλληλα τροποποιημένη έτσι ώστε να μπορεί να εφαρμοστεί στο ακολουθιακό πλαίσιο μάθησης). Ενδιαφέρον παρουσιάζει το γεγονός πως ο τελευταίος αλγόριθμος μπορεί να θεωρηθεί ως μια ντετερμινιστική εκδοχή του προαναφερθέντος πιθανοτικού αλγορίθμου. Τέλος, σημαντικό χαρακτηριστικό και των δύο αλγορίθμων είναι ότι δεν είναι απαραίτητη η εκ των προτέρων γνώση του βαθμού του πίνακα υποχώρου. Τα πλεονεκτήματα των προτεινόμενων προσεγγίσεων παρουσιάζονται σε ένα μεγάλο εύρος πειραμάτων που πραγματοποιήθηκαν σε συνθετικά δεδομένα, στο πρόβλημα της ακολουθιακής πλήρωσης ΥΦΕ και στην εκμάθηση ιδιο-προσώπων κάνοντας χρήση πραγματικών δεδομένων.Structured matrix estimation belongs to the family of learning tasks whose main goal is to reveal low-dimensional embeddings of high-dimensional data. Nowadays, this task appears in various forms in a plethora of signal processing and machine learning applications. In the present thesis, novel mathematical formulations for three different instances of structured matrix estimation are proposed. Concretely, the problems of a) simultaneously sparse, low-rank and nonnegative matrix estimation, b) low-rank matrix factorization and c) online low-rank subspace learning and matrix completion, are addressed and analyzed. In all cases, it is assumed that data are generated by a linear process, i.e., we deal with linear measurements. A suite of novel and efficient {\it optimization algorithms} amenable to handling {\it large-scale data} are presented. A key common feature of all the introduced schemes is {\it nonconvexity}. It should be noted that albeit nonconvexity complicates the derivation of theoretical guarantees (contrary to convex relevant approaches, which - in most cases - can be theoretically analyzed relatively easily), significant gains in terms of the estimation performance of the emerging algorithms have been recently witnessed in several real practical situations. Let us first focus on simultaneously sparse, low-rank and nonnegative matrix estimation from linear measurements. In the thesis this problem is resolved by three different optimization algorithms, which address two different and novel formulations of the relevant task. All the proposed schemes are suitably devised for minimizing a cost function consisting of a least-squares data fitting term and two regularization terms. The latter are utilized for promoting sparsity and low-rankness. The novelty of the first formulation lies in the use, for the first time in the literature, of the sum of the reweighted $\ell_1$ and the reweighted nuclear norms. The merits of reweighted $\ell_1$ and nuclear norms have been exposed in numerous sparse and low-rank matrix recovery problems. As is known, albeit these two norms induce nonconvexity in the resulting optimization problems, they provide a better approximation of the $\ell_0$ norm and the rank function, respectively, as compared to relevant convex regularizers. Herein, we aspire to benefit from the use of the combination of these two norms. The first algorithm is an incremental proximal minimization scheme, while the second one is an ADMM solver. The third algorithm's main goal is to further reduce the computational complexity. Towards this end, it deviates from the other two in the use of a matrix factorization based approach for modelling low-rankness. Since the rank of the sought matrix is generally unknown, a low-rank imposing term, i.e., the variational form of the nuclear norm, which is a function of the matrix factors, is utilized. In this case, the optimization process takes place via a block coordinate descent type scheme. The proposed formulations are utilized for modelling in a pioneering way a very important problem in hyperspectral image processing, that of hyperspectral image unmixing. It is shown that both sparsity and low-rank offer meaningful interpretations of inherent natural characteristics of hyperspectral images. More specifically, both sparsity and low-rankness are reasonable hypotheses that can be made for the so-called {\it abundance} matrix, i.e., the nonnegative matrix containing the fractions of presence of the different materials, called {\it endmembers}, at the region depicted by each pixel. The merits of the proposed algorithms over other state-of-the-art hyperspectral unmixing algorithms are corroborated in a wealth of simulated and real hyperspectral imaging data experiments. In the framework of low-rank matrix factorization (LRMF) four novel optimization algorithms are presented, each modelling a different instance of it. All the proposed schemes share a common thread: they impose low-rank on both matrix factors and the sought matrix by a newly introduced regularization term. This term can be considered as a generalized weighted version of the variational form of the nuclear norm. Notably, by appropriately selecting the weight matrix, low-rank enforcement amounts to imposing joint column sparsity on both matrix factors. This property is actually proven to be quite important in applications dealing with large-scale data, since it leads to a significant decrease of the induced computational complexity. Along these lines, three well-known machine learning tasks, namely, denoising, matrix completion and low-rank nonnegative matrix factorization (NMF), are redefined according to the new low-rank regularization approach. Then, following the block successive upper bound minimization framework, alternating iteratively reweighted least-squares, Newton-type algorithms are devised accounting for the particular characteristics of the problem that each time is addressed. Lastly, an additional low-rank and sparse NMF algorithm is proposed, which hinges upon the same low-rank promoting idea mentioned above, while also accounting for sparsity on one of the matrix factors. All the derived algorithms are tested on extensive simulated data experiments and real large-scale data applications such as hyperspectral image denoising, matrix completion for recommender systems, music signal decomposition and unsupervised hyperspectral image unmixing with unknown number of endmembers. The last problem that this thesis touches upon is online low-rank subspace learning and matrix completion. This task follows a different learning model, i.e., online learning, which offers a valuable processing framework when one deals with large-scale streaming data possibly under time-varying conditions. In the thesis, two different online algorithms are put forth. The first one stems from a newly developed online variational Bayes scheme. This is applied for performing approximate inference based on a carefully designed novel multi-hierarchical Bayesian model. Notably, the adopted model encompasses similar low-rank promoting ideas to those mentioned for LRMF. That is, low-rank is imposed via promoting jointly column sparsity on the columns of the matrix factors. However, following the Bayesian rationale, this now takes place by assigning Laplace-type marginal priors on the matrix factors. Going one step further, additional sparsity is independently modelled on the subspace matrix thus imposing multiple structures on the same matrix. The resulting algorithm is fully automated, i.e., it does not demand fine-tuning of any parameters. The second algorithm follows a cost function minimization based strategy. Again, the same low-rank promoting idea introduced for LRMF is incorporated in this problem via the use of a - modified to the online processing scenario - low-rank regularization term. Interestingly, the resulting optimization scheme can be considered as the deterministic analogue of the Bayesian one. Both the proposed algorithms present a favorable feature, i.e., they are competent to learn subspaces without requiring the a priori knowledge of their true rank. Their effectiveness is showcased in extensive simulated data experiments and in online hyperspectral image completion and eigenface learning using real data