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Aplicações numéricas e combinatórias de polinómios de Appell generalizados
Doutoramento em MatemáticaThis thesis studies properties and applications of different generalized Appell
polynomials in the framework of Clifford analysis.
As an example of 3D-quasi-conformal mappings realized by generalized Appell
polynomials, an analogue of the complex Joukowski transformation of order
two is introduced. The consideration of a Pascal n-simplex with hypercomplex
entries allows stressing the combinatorial relevance of hypercomplex Appell
polynomials.
The concept of totally regular variables and its relation to generalized Appell
polynomials leads to the construction of new bases for the space of
homogeneous holomorphic polynomials whose elements are all isomorphic to
the integer powers of the complex variable. For this reason, such polynomials
are called pseudo-complex powers (PCP). Different variants of them are
subject of a detailed investigation.
Special attention is paid to the numerical aspects of PCP. An efficient algorithm
based on complex arithmetic is proposed for their implementation. In this
context a brief survey on numerical methods for inverting Vandermonde
matrices is presented and a modified algorithm is proposed which illustrates
advantages of a special type of PCP.
Finally, combinatorial applications of generalized Appell polynomials are
emphasized. The explicit expression of the coefficients of a particular type of
Appell polynomials and their relation to a Pascal simplex with hypercomplex
entries are derived. The comparison of two types of 3D Appell polynomials
leads to the detection of new trigonometric summation formulas and
combinatorial identities of Riordan-Sofo type characterized by their expression
in terms of central binomial coefficients.Esta tese estuda propriedades e aplicações de diferentes polinómios de Appell
generalizados no contexto da análise de Clifford.
Exemplificando uma transformação realizada por polinómios de Appell
generalizados, é introduzida uma transformação análoga à transformação de
Joukowski complexa de ordem dois. A análise de um n- simplex de Pascal com
entradas hipercomplexas permite sublinhar a relevância combinatória de
polinómios hipercomplexos de Appell.
O conceito de variáveis totalmente regulares e a sua relação com polinómios
de Appell generalizados conduz à construção de novas bases para o espaço
dos polinómios homogéneos holomorfos cujos elementos são todos isomorfos
às potências inteiras da variável complexa. Por este motivo, tais polinómios
são chamados de potências pseudo-complexas (PCP). Diferentes variantes de
PCP são objeto de uma investigação detalhada.
É dada especial atenção aos aspectos numéricos de PCP. Um algoritmo
eficiente baseado em aritmética complexa é proposto para a sua
implementação. Neste contexto, é apresentado um breve resumo de métodos
numéricos para inverter matrizes de Vandermonde e é proposto um algoritmo
modificado para ilustrar as vantagens de um tipo especial de PCP.
Finalmente, são enfatizadas aplicações combinatórias de polinómios de Appell
generalizados. A expressão explícita dos coeficientes de um tipo particular de
polinómios de Appell e a sua relação com um simplex de Pascal com entradas
hipercomplexas são obtidas. A comparação de dois tipos de polinómios de
Appell tridimensionais leva à deteção de novas fórmulas envolvendo somas
trigonométricas e de identidades combinatórias do tipo de Riordan – Sofo,
caracterizadas pela sua expressão em termos de coeficientes binomiais
centrais