Weyl Darstellung der metaplektischen Operatoren und die fraktionale Fourier Transformation der Gaussfunktion

Das Bestreben dieser Diplomarbeit ist es, die metaplektische Darstellung vom Standpunkt des Weyl Calculus der Pseudodifferential Operatoren zu untersuchen. Die Resultate dieser Untersuchungen führen zu der quadratischen Fourier Transformation, die einfach einen Spezialfall der metaplektischen Operatoren darstellt. Der Zugang den ich in dieser Diplomarbeit gewählt habe, ist dank der symplektischen Cayley Transformation sehr direkt. Vereinfacht gesagt, die Betonung liegt auf dem Zusammenhang zwischen der symplektischen Gruppe und der Fourier Transformation. Beispielsweise assoziiert die metaplektische Gruppe zu der Fourier Transformation die standard symplektische Rotation. Auf mathematisch etwas anspruchsvollerem Niveau kann die metaplektische Gruppe Mp(d) auf zwei verschiedenen Wegen de…niert werden. Hier eine kurze Zusammenfassung dieser möglichen Zugänge zur metaplektischen Gruppe: Die symplektische Gruppe Sp(d) besitzt Überdeckungsgruppen der Ordnung q = 2,3,...,... . Die Überdeckungsgruppe Sp2(d) mit der Ordnung 2, kann mit der Gruppe der unitären Operatoren wirkend auf L2(Rd) identifiziert werden: Diese Gruppe ist die metaplektische Gruppe, bezeichnet mit Mp(d): Ein anderer Zugang zur metaplektischen Gruppe Mp(d) ist durch direkte Konstruktion: -eine Familie von unitären Operatoren auf L2(Rd) kann durch erzeugende Funktionen der symplektischen Matrizen konstruiert werden. Auf diesem Wege wird eine Gruppe erzeugt, die metaplektische Gruppe Mp(d) ; -das ist auch der Zugang den ich in dieser Diplomarbeit gewählt habe. Meine Arbeit ist wie folgt strukturiert : Nach Einführung der relevanten Grundbegrie, wird die Theorie der metaplektischen Gruppe vom Standpunkt der quadratischen Fourier Transformation betrachtet. Als ein wichtiges Resultat in diesem Abschnitt zeigt sich die Tatsache, dass jeder metaplektische Operator in genau zwei quadratische Fourier Transformationen faktorisiert werden kann. An dieser Stelle gebe ich eine sehr kurze Verbindung zu entsprechendem Gebiet der Maslov Indizes. Danach werden die Elemente der metaplektischen Gruppe Mp(d) vom pseudodifferentionellen Standpunkt untersucht

Visual data flow language with higher-order combinators

Moderne Softwaretechnik (Software Engineering) befasst sich mit der professionellen Entwicklung von hochqualitativen Softwaresystemen. Softwarequalität und insbesondere die relative Korrektheit eines Programms kann mit Hilfe von formalen Verfahren auf der Basis einer Spezifikation bestimmt werden. Im besten Falle kann a posteriori auf der Grundlage eines fertigen Programms eine formale Verifikation durchgeführt werden. Diese Arbeit untersucht eine konstruktive Herangehensweise, die Programme a priori korrekt erstellt, indem eine abstrakte Spezifikation sukzessive in ein ausführbares Programm überführt wird. Es wird eine graphische Notation und zugleich ein methodischer Ansatz zur Softwareentwicklung definiert, der die transformative Programmierung in den Vordergrund stellt. Die behandelte Thematik liegt dabei im Spannungsfeld mehrerer Aspekte wie Datenflussprogrammierung, Techniken des lambda,-Kalküls und des gegebenen Transformations-Rahmenwerks HOPS. Letzteres ist ein Entwicklungssystem zur visuellen Programmierung, das Gegenstand mehrerer Forschungsprojekte an der Universität der Bundeswehr München war. Ziel der Arbeit ist es, einen nahtlosen Übergang zwischen den einzelnen Phasen der Softwareentwicklung wie Analyse, Entwurf und Implementierung mittels eines transformativen Ansatzes zu erreichen. Dies wird an einem umfangreichen Beispiel aus dem Gebiet der digitalen Signalverarbeitung dargestellt.Modern software engineering deals with professional development of high quality software systems. Software quality and especially relative correctness of programs based on a specification can be determined by formal methods. At best a formal verification can be performed a posteriori on the basis of a complete program. This thesis investigates a constructive approach which generates programs correctly a priori by transforming an abstract pecification successively into an executable program. A graphical notation together with a methodical approach for software development will be defined emphasizing transformational programming. The outlined topic covers areas of several aspects like data flow programming, techniques of the lambda,-calculus and the given transformation framework HOPS. The latter is a development system for visual programming hich was subject of several research projects at the University of the Federal Armed Forces. The aim of the thesis is to obtain a transformational approach for the seamless transition between the specific phases of software development like analysis, design, and implementation. This will be demonstrated by a substantial example in the field of digital signal processing

Topologische Datenbanken für Architektonische Räume

Bei der rechnergestützten Gebäudeplanung ist stets zu berücksichtigen, wie Einzelelemente eines Gebäudes miteinander in Beziehung stehen. Der so entstehende (alexandroffsche) topologische Raum kann verlustfrei in einer Relationalen Datenbank gespeichert werden. Es wird hier eine entsprechende topologische Erweiterung des Relationalen Datenmodells vorgestellt. Ein Konzept für ein Planungsinformationssystem zeigt schließlich eine praktische Einsatzmöglichkeit für topologische Datenbanken

mArachna : Eine semantische Analyse der mathematischen Sprache für ein computergestütztes Information Retrieval System

Eine wichtige Komponente von eLearning-Plattformen ist ein Information Retrieval Mechanismus. Dazu müssen die vorhandenen Inhalte zunächst schematisiert und kategorisiert, und die dabei gewonnenen Informationen in ein Beziehungsnetzwerk eingeordnet werden. Benutzeranfragen können dann grundsätzlich anhand der in der Sprache manifestierten inhaltlichen Beziehungen beantwortet werden. Aufgrund der großen Menge der verfügbaren mathematischen Inhalte ist es wünschenswert, diesen Prozess weitestgehend zu automatisieren. In dieser Arbeit wird ein Verfahren für die grundsätzliche Erstellung eines solchen Beziehungsnetzwerks aus deutschsprachigen mathematischen Texten vorgestellt. Dabei liegt der Fokus auf der Analyse feingranularer mathematischer Textbausteine wie Definitionen und Theoremen. Die Inhalte in diesen sogenannten Entitäten sind der wesentliche Informationsträger in mathematischen Texten, weshalb die Entitäten auch die inhaltlichen Grundbausteine der mathematischen eLearning-Plattform Mumie bilden, als deren Teilprojekt diese Arbeit entstand. Es wird gezeigt, dass die Entitäten in mathematischen Texten linguistisch gut strukturiert und damit schematisierbar sind. Darauf aufbauend wird ein computerlinguistisches Verfahren entwickelt, um semantische Informationen aus den Entitäten zu gewinnen. Diese werden in eine Wissensbasis eingefügt, die auf einer eigens entworfenen Ontologie der mathematischen Fachsprache basiert. Dabei werden im Text vorkommende Begriffe als Knoten dargestellt, während die zwischen ihnen herrschenden sprachlichen Beziehungen als Kanten repräsentiert werden.Inhaltliche Beziehungen zwischen Begriffen werden dabei anhand der verwendeten Sprachkonstrukte erkannt (nicht aufgrund inhaltlicher mathematischer Abhängigkeiten). Auf der Grundlage der entwickelten Verfahren wurde ein experimenteller morphologischer, syntaktischer und semantischer Parser in Java implementiert, der in der Lage ist, einfache mathematische Definitionen und Theoreme computerlinguistisch zu analysieren. Aufbauend auf den Ergebnissen dieser Arbeit ließe sich beispielsweise ein Retrieval Interface entwickeln, in dem ein Benutzer eine Anfrage zu einem mathematischen Begriff stellt, und vom System Informationen zu diesem und damit zusammenhängigen Begriffen etwa in Form eines Wissensnetzes dargestellt bekommt

Analytische Maschinen und Berechenbarkeit analytischer Funktionen

Gegenstand dieser Arbeit ist der Berechenbarkeitsbegriff über den reellen und komplexen Zahlen und die Charakterisierung der Berechenbarkeit analytischer Funktionen. Dazu werden analytische Maschinen betrachtet, ein von Hotz eingeführtes Maschinenmodell, das die von Blum, Shub und Smale definierten Maschinen um unendliche konvergente Berechnungen (analytische Berechnungen) erweitert. Es werden Resultate über die Eigenschaften analytisch berechenbarer Funktionen präsentiert und Verallgemeinerungen des Darstellungssatzes von Blum, Shub und Smale für R-berechenbare Funktionen gegeben. Das Maschinenmodell wird dann dazu benutzt, um Berechenbarkeit holomorpher (komplex-analytischer) Funktionen zu charakterisieren. Für die in der Arbeit definierte Klasse der koeffizientenberechenbaren analytischen Funktionen wird gezeigt, daß sie unter grundlegenden Operationen wie Komposition und lokaler Umkehr abgeschlossen ist. Es wird ferner gezeigt, daß die analytische Fortsetzung einer auf einem Gebiet D C analytischen und berechenbaren Funktion auf ein Gebiet G D ebenfalls wieder berechenbar ist. Zusätzlich zur Berechenbarkeit durch Maschinen wird auch Berechenbarkeit mittels rekursiver Funktionen betrachtet. Die linear primitiv-rekursiven Funktionen werden eingeführt und im Rahmen der μ-rekursiven Funktionen klassifiziert.The subject of this thesis is computability over the real and complex numbers, and the characterization of computable analytic functions. To this end, we consider analytic machines, a machine model introduced by Hotz that extends the machines defined by Blum, Shub and Smale with infinite convergent computations (analytic computations). Results concerning the properties of analytically computable functions are presented and generalizations of Blum, Shub and Smale's representation theorem for R-computable functions are given. Then, the machine model is used for the characterization of computability of holomorphic (complex-analytic) functions. The class of coefficient-computable analytic functions is introduced and shown to be closed under basic operations such as composition and local inversion. Further, it is shown that, given a function that is analytic and computable on a region D C and which possesses an analytic continuation on a region G D, this analytic continuation is also computable. In addition to computability by machines, computability by recursive functions is considered. The linear primitive-recursive function are introduced and classified within the μ-recursive functions

An den Grenzen des Endlichen

Die Arbeit widmet sich der philosophischen Diskussion des Hilbertprogramms (HP), und zwar in einem methodischen Dreischritt aus Erötertung seiner Konzeption, Analyse seiner Durchführung und Reflexion philosophischer Fragen. Zur Konzeption dieses mathematischen Grundlegungsprogramms gehören Axiomatik, Formalismus und Finitismus, sowie die Beziehung des HP zum Intuitionismus und zum Logizismus. Es wird kritisch von instrumentalistischen Auslegungen abgegrenzt. Durchgeführt wurde das Programm zuerst in den einschlägigen Arbeiten von Hilbert, Bernays, Ackermann und Gentzen. Die darin gegebenen (Ansätze zu) Widerspruchsfreiheitsbeweise(n) werden analysiert und ihre Argumentationsstruktur herausgearbeitet. Die Reflexion beschäftigt sich mit drei Problemkreisen: Poincarés Zirkularitätskritik, Gödels Unvollständigkeitssätze und Kreisels Frage nach der Rolle transfiniter Ordinalzahlen in einer finitistischen Theorie. Ein Resümee fragt, was das HP eigentlich leistet, und versucht eine differenzierte Antwort auf die Frage, ob es gescheitert ist

Elektrische Impedanztomografie in der Geoelektrik

The Electrical Impedance Tomography for a complex-valued admittance is investigated theoretically and numerically. The reconstruction of the admittance is carried out by the Tikhonov-regularized Newton-like methods. In addition, a relation between 2D and 3D problems is demonstrated and applied to accelerate the reconstruction algorithms