Algebrinės sinusų ir kosinusų bei jų argumentų reikšmės

The article introduces the reader to some amazing properties of trigonometric functions. It turns out that if the values of the arguments of the functions sin x, cos x, tg x and ctg x, expressed in radians, are algebraic numbers, then the values of these functions are transcendental numbers. Hence, it follows that the values of all angles of the pseudo-Heronian triangle, including the values of all angles of the Pythagoras or Heron triangle, expressed in radians, are transcendental numbers. If the arguments of functions sin x and cos x, expressed in radians, are equal to x = r 2 \pi, where r are rational numbers, then the values of the functions are algebraic numbers. It should be noted that in this case the argument x = r 2\pi  is transcendental and, if expressed in degrees, becomes a rational.Straipsnis supažindina skaitytoją su keletų nuostabių˛ trigonometrinių funkcijų savybių. Pasirodo, jei funkcijų sin x, cos x, tg x ir ctg x argumentų reikšmės, išreikštos radianais, yra algebriniai skaičiai, tai šių funkcijų reikšmės yra transcendentiniai skaičiai. Iš čia išplaukia, kad pseudo Herono trikampių visų kampų didumai (atskiru atveju Pitagoro ir Herono trikampių visų kampų didumai), išreikšti radianais, yra transcendentiniai skaičiai. Jei sinusų ir kosinusų argumentai, išreikšti radianais, yra lygūs x = r 2\pi, čia r – racionalieji skaičiai, tai šių˛ funkcijų˛ reikšmės yra algebriniai skaičiai. Pažymėtina, kad šiuo atveju argumentas x = r 2\pi  yra transcendentinis, o išreikštas laipsniais jis tampa racionaliuoju skaičiumi

Grade School Triangles

In grade school, students learn a standard set of Euclidean triangles. Among this set, the usual 45-45-90 and 30-60-90 triangles are the only right triangles with rational angles and side lengths each containing at most one square root. Are there any other such right triangles? We answer this question completely and present an elegant complement called Ailles\u27 rectangle that deserves to be in every geometry teacher\u27s toolkit