Two remarks on generalized entropy power inequalities

This note contributes to the understanding of generalized entropy power inequalities. Our main goal is to construct a counter-example regarding monotonicity and entropy comparison of weighted sums of independent identically distributed log-concave random variables. We also present a complex analogue of a recent dependent entropy power inequality of Hao and Jog, and give a very simple proof.Comment: arXiv:1811.00345 is split into 2 papers, with this being on

Do Minkowski averages get progressively more convex?

Abstract Let us define, for a compact set A ⊂ R n , the Minkowski averages of A: We study monotonicity properties of A(k) towards convexity when considering the volume deficit and a nonconvexity index of Schneider. For the volume deficit, we show that monotonicity fails in general, thus disproving a conjecture of Bobkov, Madiman and Wang. For Schneider's non-convexity index, we show that a strong form of monotonicity holds. To cite this article: M. Fradelizi, M. Madiman, A. Marsiglietti, A. Zvavitch, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I YYY (20XX). Résumé Les moyennes de Minkowski deviennent-elles progressivement plus convexes ? Pour tout ensemble compact A ⊂ R n , définissons ses moyennes de Minkowski par Nousétudions la monotonie de A(k) dans sa convergence vers l'enveloppe convexe de A, mesurée par le déficit volumique et par l'indice de non-convexité de Schneider. Pour le déficit volumique, nous démontrons que la propriété de monotonie n'est pas satisfaite en général, réfutant ainsi une conjecture de Bobkov, Madiman et Wang. Pour l'index de non-convexité de Schneider, nous démontrons une propriété renforcée de monotonie. Contrairement au déficit volumique, la suite (c(A(k))) est strictement décroissante,à moins que A(k) soit déjà convexe. Plus précisément nous démontrons que pour tout ensemble compact En outre, nousétudions dans [6] la monotonie de A(k), mesurée par d'autres mesures de non-convexité. Nous abordonségalement la question de la vitesse de convergence ; en particulier, de l'inégalité ci-dessus nous déduisons que la vitesse de convergence de la suite (c(A(k))) est en O(1/k), ceciétant optimal

Conditional R\'enyi entropy and the relationships between R\'enyi capacities

The analogues of Arimoto's definition of conditional R\'enyi entropy and R\'enyi mutual information are explored for abstract alphabets. These quantities, although dependent on the reference measure, have some useful properties similar to those known in the discrete setting. In addition to laying out some such basic properties and the relations to R\'enyi divergences, the relationships between the families of mutual informations defined by Sibson, Augustin-Csisz\'ar, and Lapidoth-Pfister, as well as the corresponding capacities, are explored.Comment: 17 pages, 1 figur

Do Minkowski averages get progressively more convex?

Abstract Let us define, for a compact set A ⊂ R n , the Minkowski averages of A: We study the monotonicity of the convergence of A(k) towards the convex hull of A, when considering the Hausdorff distance, the volume deficit and a non-convexity index of Schneider as measures of convergence. For the volume deficit, we show that monotonicity fails in general, thus disproving a conjecture of Bobkov, Madiman and Wang. For Schneider's non-convexity index, we prove that a strong form of monotonicity holds, and for the Hausdorff distance, we establish that the sequence is eventually nonincreasing. Résumé Les moyennes de Minkowski deviennent-elles progressivement plus convexes ? Pour tout ensemble compact A ⊂ R n , définissons ses moyennes de Minkowski par Nousétudions la monotonie de la convergence de A(k) vers l'enveloppe convexe de A, mesurée par la distance de Hausdorff, le déficit volumique et par l'indice de non-convexité de Schneider. Pour le déficit volumique, nous démontrons que la propriété de monotonie n'est pas satisfaite en général, réfutant ainsi une conjecture de Bobkov, Madiman et Wang. Pour l'index de non-convexité de Schneider, nous montrons une propriété renforcée de monotonie tandis que pour la distance de Hausdorff, nousétablissons que la suite est strictement décroissanteà partir d'un certain rang. Version française abrégée L'objectif de cette note est d'annoncer et de démontrer une partie des résultats obtenus dans [3] qui portent sur l'étude de la monotonie de la suite (A(k)) k≥1 définie en (1), mesuréeà travers différentes mesures de non-convexité. Intuitivement, les ensembles A(k) deviennent de plus en plus convexes au fur età mesure que k croît. Cette intuition est précisée dans désigne le déficit volumique d'un ensemble compact de R n . Ici, Vol n représente la mesure de Lebesgue dans R n et conv(A) désigne l'enveloppe convexe de A. Nous réfutons cette conjecture en exhibant un contre-exemple explicite en dimension supérieure ouégaleà 12. Le contre-exemple est la réunion de deux ensembles convexes inclus dans des sous-espaces de dimension (presque) moitié de l'espace ambiant (voir De manière analogueà la conjecture de Bobkov-Madiman-Wang, nousétudions la monotonie de la suite (c(A(k))) k≥1 , où c est l'index de non-convexité de Schneider [6] défini par c(A) := inf{λ ≥ 0 : A + λ conv(A) est convexe}. Contrairement au déficit volumique, la suite (c(A(k))) est strictement décroissante,à moins que A(k) soit déjà convexe. Plus précisément nous montrons que pour tout ensemble compact A de R n et tout k ∈ N

Equality conditions for the fractional Brunn-Minkowski-Lyusternik inequality in one-dimension

While studying set function properties of Lebesgue measure, Franck Barthe and Mokshay Madiman proved that Lebesgue measure is fractionally superadditive on compact sets in $\mathbb{R}^n$. In doing this they proved a fractional generalization of the Brunn-Minkowski-Lyusternik (BML) inequality in dimension $n=1$. In this article a complete characterization of the equality conditions for the fractional BML inequality in one-dimension will be given. It will be shown that aside from some trivial cases, that for a fractional partition $(\mathcal{G},\beta)$ and non-empty compact sets $A_1,\dots,A_m\subset\mathbb{R}$ equality holds if and only if for each $S\in\mathcal{G}$ the set $\sum_{i\in S}A_i$ is either an interval with positive measure or consists of exactly one point