Multiplication in Finite Fields and Elliptic Curves

La cryptographie à clef publique permet de s'échanger des clefs de façon distante, d'effectuer des signatures électroniques, de s'authentifier à distance, etc. Dans cette thèse d'HDR nous allons présenter quelques contributions concernant l'implantation sûre et efficace de protocoles cryptographiques basés sur les courbes elliptiques. L'opération de base effectuée dans ces protocoles est la multiplication scalaire d'un point de la courbe. Chaque multiplication scalaire nécessite plusieurs milliers d'opérations dans un corps fini.Dans la première partie du manuscrit nous nous intéressons à la multiplication dans les corps finis car c'est l'opération la plus coûteuse et la plus utilisée. Nous présentons d'abord des contributions sur les multiplieurs parallèles dans les corps binaires. Un premier résultat concerne l'approche sous-quadratique dans une base normale optimale de type 2. Plus précisément, nous améliorons un multiplieur basé sur un produit de matrice de Toeplitz avec un vecteur en utilisant une recombinaison des blocs qui supprime certains calculs redondants. Nous présentons aussi un multiplieur pous les corps binaires basé sur une extension d'une optimisation de la multiplication polynomiale de Karatsuba.Ensuite nous présentons des résultats concernant la multiplication dans un corps premier. Nous présentons en particulier une approche de type Montgomery pour la multiplication dans une base adaptée à l'arithmétique modulaire. Cette approche cible la multiplication modulo un premier aléatoire. Nous présentons alors une méthode pour la multiplication dans des corps utilisés dans la cryptographie sur les couplages : les extensions de petits degrés d'un corps premier aléatoire. Cette méthode utilise une base adaptée engendrée par une racine de l'unité facilitant la multiplication polynomiale basée sur la FFT. Dans la dernière partie de cette thèse d'HDR nous nous intéressons à des résultats qui concernent la multiplication scalaire sur les courbes elliptiques. Nous présentons une parallélisation de l'échelle binaire de Montgomery dans le cas de E(GF(2^n)). Nous survolons aussi quelques contributions sur des formules de division par 3 dans E(GF(3^n)) et une parallélisation de type (third,triple)-and-add. Dans le dernier chapitre nous développons quelques directions de recherches futures. Nous discutons d'abord de possibles extensions des travaux faits sur les corps binaires. Nous présentons aussi des axes de recherche liés à la randomisation de l'arithmétique qui permet une protection contre les attaques matérielles

Finite Field Multiplication Combining AMNS and DFT Approach for Pairing Cryptography

Pairings over ellitpic curve use fields GF(p^k) with p >= 2^{160} and 6 < k <=32. In this paper we propose to represent elements in GF(p) with AMNS (Bajard et al. SAC04). For well chosen AMNS we get roots of unity with sparse representation. The multiplication by these roots are thus really efficient in GF(p). The DFT/FFT approach for multiplication in extension field GF(p^k) is thus optimized. The resulting complexity of a multiplication in GF(p^k) combining AMNS and DFT is about 50\% less than the previously recommended approach

Finite field multiplication combining AMNS and DFT approach for pairing cryptography

Pairings over ellitpic curve use fields GF(p^k) with p >= 2^{160} and 6 < k <=32. In this paper we propose to represent elements in GF(p) with AMNS (Bajard et al. SAC04). For well chosen AMNS we get roots of unity with sparse representation. The multiplication by these roots are thus really efficient in GF(p). The DFT/FFT approach for multiplication in extension field GF(p^k) is thus optimized. The resulting complexity of a multiplication in GF(p^k) combining AMNS and DFT is about 50\% less than the previously recommended approach