ОТ ДИОФАНТОВЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ДО ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ

Let in the real $n$-dimensional space $\mathbb{R}^n=\{X\}$ be given $m$ real homogeneous forms $f_i(X)$, $i=1,\dotsc,m$, $2\leqslant m\leqslant n$. The convex hull of the set of points $G(X)=(|f_1(X)|,\dotsc,|f_m(X)|)$ for integer $X\in\mathbb Z^n$ in many cases is a convex polyhedral set. Its boundary for ||X||<\mathrm{const} can be computed by means of the standard program. The points $X\in\mathbb Z^n$ are called boundary points if $G(X)$ lay on the boundary. They correspond to the best Diophantine approximations $X$ for the given forms. That gives the global generalization of the continued fraction. For $n=3$ Euler, Jacobi, Dirichlet, Hermite, Poincar\'e, Hurwitz, Klein, Minkowski, Brun, Arnold and a lot of others tried to generalize the continued fraction, but without a succes.Let $p(\xi)$ be an integer real irreducible in $\mathbb Q$ polynomial of the order $n$ and $\lambda$ be its root. The set of fundamental units of the ring $\mathbb Z[\lambda]$ can be computed using boundary points of some set of linear and quadratic forms, constructed by means of the roots of the polynomial $p(\xi)$. Similary one can compute a set of fundamental units of other rings of the field $\mathbb Q(\lambda)$. Up today such sets of fundamental units were computed only for $n=2$ (using usual continued fractions) and $n=3$ (using the Voronoi algorithms).Our approach generalizes the continued fraction, gives the best rational simultaneous approximations, fundamental units of algebraic rings of the field $\mathbb Q(\lambda)$ and all solutions of a certain class of Diophantine equations for any $n$.Пусть в вещественном $n$"=мерном пространстве $\mathbb R^n=\{X\}$ задано $m$ однородных вещественных форм $f_i(X)$, $i=1,\dotsc,m$, $2\leqslant m\leqslant n$. Выпуклая оболочка множества значений $G(X)=\left(|f_1(X)|,\dotsc,|f_m(X)|\right)\in\mathbb R^m_+$ для целочисленных $X\in\mathbb{Z}^n$ во многих случаях является выпуклым многогранным множеством, граница которого для ||X||<\mathrm{const} вычисляется с помощью стандартной программы. Точки $X\in\mathbb{Z}^n$, для которых значения $G(X)$ лежат на этой границе, названы граничными. Они являются наилучшими диофантовыми приближениями для корневых множеств указанных форм. Их вычисление даёт глобальное обобщение цепной дроби. Для $n=3$ обобщить цепную дробь безуспешно пытались Эйлер, Якоби, Дирихле, Эрмит, Пуанкаре, Гурвиц, Клейн, Минковский, Брун, Арнольд и многие другие.Пусть $p(\xi)$~--- целый неприводимый в $\mathbb Q$ многочлен степени $n$ и $\lambda$~--- его корень. Набор основных единиц кольца $\mathbb{Z}[\lambda]$ можно вычислить по граничным точкам некоторой совокупности линейных и квадратичных форм, построенных по корням многочлена $p(\xi)$. До сих пор эти единицы вычислялись только для $n=2$ (с помощью обычных цепных дробей) и $n=3$ (с помощью алгоритмов Вороного).Каждая единица определяет автоморфизм граничных точек в $\mathbb R^n$ и автоморфизм их образов в $\mathbb R^m_+$. В логарифмической проекции $\mathbb R^m_+$ на $\mathbb R^{m-1}$ можно найти фундаментальную область для группы вторых автоморфизмов, соответствующих единицам.С помощью этих конструкций можно находить целочисленные решения диофантовых уравнений специального вида. Аналогично вычисляются все указанные объекты для других колец поля $\mathbb{Q}(\lambda)$. Приведены примеры.Наш подход обобщает цепную дробь, позволяет вычислить наилучшие совместные приближения, основные единицы алгебраических колец поля $\mathbb Q(\lambda)$ и все решения некоторого класса диофантовых уравнений для любого $n$