Барицентрические координаты Пуассона — Римана

The article deals with the problem of finding barycentric coordinates for arbitrary, simply connected, closed, discrete regions that are defined in and . Barycentric coordinates are given by a set of scalar parameters that unambiguously define a point of the affine space inside a simply connected, closed, discrete region through a specified point basis, which is given by the vertices of the region. Barycentriс coordinates being defined for the simply connected, closed, discrete region are harmonic and satisfy the properties of affine invariance, positive definiteness and equality to unit. The solution is based on the Riemann theorem on the uniqueness of conformal mapping and the Poisson integral formula for the ball. The paper shows the examples of approximation of the potential inside arbitrary, simply connected, closed, discrete regions using the proposed method, compared with the approximation using the finite element method.В статье выполнено решение задачи нахождения барицентрических координат для произвольных односвязных замкнутых дискретных областей, заданных в и . Барицентрические координаты задаются набором скалярных параметров, однозначно определяющих точку аффинного пространства внутри односвязной замкнутой дискретной области через заданный точечный базис. Точечный базис задается вершинами односвязной замкнутой дискретной области. Определяемые барицентрические координаты для односвязной замкнутой дискретной области являются гармоническими и удовлетворяют свойствам аффинной инвариантности, положительной определенности и равенстве единице. Решение основано на теореме Римана о единственности конформного отображения и интегральной формуле Пуассона для шара. Приведены примеры аппроксимации потенциала внутри произвольных односвязных замкнутых дискретных областей по предложенному методу в сравнении с аппроксимацией методом конечных элементов

Addressing Integration Error for Polygonal Finite Elements Through Polynomial Projections: A Patch Test Connection

Polygonal finite elements generally do not pass the patch test as a result of quadrature error in the evaluation of weak form integrals. In this work, we examine the consequences of lack of polynomial consistency and show that it can lead to a deterioration of convergence of the finite element solutions. We propose a general remedy, inspired by techniques in the recent literature of mimetic finite differences, for restoring consistency and thereby ensuring the satisfaction of the patch test and recovering optimal rates of convergence. The proposed approach, based on polynomial projections of the basis functions, allows for the use of moderate number of integration points and brings the computational cost of polygonal finite elements closer to that of the commonly used linear triangles and bilinear quadrilaterals. Numerical studies of a two-dimensional scalar diffusion problem accompany the theoretical considerations