2 research outputs found
ΠΠΈΡΡΡΠΊΠ°ΡΠΈΡ ΠΠ½Π΄ΡΠΎΠ½ΠΎΠ²Π°βΠ₯ΠΎΠΏΡΠ° Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π±ΠΈΠΎΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΡΠ΅Π°ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΠ΅Π»ΠΎΡΡΠΎΠ²Π°
We consider the problem of mathematical modeling of oxidation-reduction oscillatory chemical reactions based on the Belousov reaction mechanism. The process of the main components interaction in such a reaction can be interpreted by a βpredator β preyβ model phenomenologically similar to it. Thereby, we consider a parabolic boundary value problem consisting of three Volterratype equations, which is a mathematical model of this reaction. We carry out a local study of the neighborhood of the system non-trivial equilibrium state, define a critical parameter, at which the stability is lost in this neighborhood in an oscillatory manner. Using standard replacements, we construct the normal form of the considering system and the form of its coefficients defining the qualitative behaviour of the model and show the graphical representation of these coefficients depending on the main system parameters. On the basis of it, we prove a theorem on the existence of an orbitally asymptotically stable limit cycle, which bifurcates from the equilibrium state, and find its asymptotics. To identificate the limits of found asymptotics applicability, we compare the oscillation amplitudes of one periodic solution component obtained on the basis of asymptotic formulas and by numerical integration of the model system. Along with the main case of AndronovβHopf bifurcation, we consider various combinations of normal form coefficients obtained by changing the parameters of the studied system, and the corresponding to them solutions behaviour near the equilibrium state. In the second part of the paper, we consider the problem of the diffusion loss of stability of a spatially homogeneous cycle obtained in the first part. We find a critical value of diffusion parameter, at which this cycle of distributed system loses the stability.Β Π ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΎΠΊΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ²ΠΎΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ
ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ
Ρ
ΠΈΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
ΡΠ΅Π°ΠΊΡΠΈΠΉ, Π² ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ
Π»Π΅ΠΆΠΈΡ ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠ΅Ρ
Π°Π½ΠΈΠ·ΠΌ ΡΠ΅Π°ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΠ΅Π»ΠΎΡΡΠΎΠ²Π°. ΠΡΠΎΡΠ΅ΡΡ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΡ
ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΎΠ² Π² ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠ΅Π°ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠΏΡΠ΅ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ ΡΠ΅Π½ΠΎΠΌΠ΅Π½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΎΠΉ ΠΊ Π½Π΅ΠΉ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΡΡ Β«Ρ
ΠΈΡΠ½ΠΈΠΊ β ΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π°Β». Π ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ Ρ ΡΡΠΈΠΌ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΊΡΠ°Π΅Π²Π°Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°, ΡΠΎΡΡΠΎΡΡΠ°Ρ ΠΈΠ· ΡΡΠ΅Ρ
ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ΡΡΠΎΠ²ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠΏΠ°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Ρ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠ΅Π°ΠΊΡΠΈΠΈ. Π‘Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π½Π΅ΡΡΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡ, ΠΏΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ Π² ΠΎΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π½Π΅ΡΡΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ ΡΠ΅ΡΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΡΠΎΠΉΡΠΈΠ²ΠΎΡΡΡ. Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΡ
Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ ΡΡΡΠΎΠΈΡΡΡ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ° ΠΈΠ·ΡΡΠ°Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ, ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π²ΠΈΠ΄ Π΅Π΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ², ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ, ΠΊΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΎ ΠΈΡ
Π³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ² Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ° ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΎ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡΠ±ΠΈΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΡΡΡΠΎΠΉΡΠΈΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠΊΠ»Π°, ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ²Π»ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎΡΡ ΠΎΡ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡ, ΠΈ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΠΈΠΊΡ. ΠΠ»Ρ Π²ΡΡΡΠ½Π΅Π½ΠΈΡ Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΠΈΠΊΠΈ ΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡΡΠ΄ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ
Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
ΡΠΎΡΠΌΡΠ» ΠΈ ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ. ΠΠ°ΡΡΠ΄Ρ Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ Π±ΠΈΡΡΡΠΊΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΠ½Π΄ΡΠΎΠ½ΠΎΠ²Π°βΠ₯ΠΎΠΏΡΠ° ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½Ρ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°ΡΡΠΈΠ΅ΡΡ ΠΏΡΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ² ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ, ΠΈ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΎ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅Π΅ ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π²Π±Π»ΠΈΠ·ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡ. ΠΠ°Π»Π΅Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½Π° Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΡΠ·ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΡΠ΅ΡΠ΅ ΡΡΡΠΎΠΉΡΠΈΠ²ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌ ΡΡΠ°ΠΏΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠΊΠ»Π°. ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅Π½ΠΎ ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ° Π΄ΠΈΡΡΡΠ·ΠΈΠΈ, ΠΏΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΡΡΠΎΡ ΡΠΈΠΊΠ» ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠ΅ΡΡΠ΅Ρ ΡΡΡΠΎΠΉΡΠΈΠ²ΠΎΡΡΡ