Les matrices doublement stochastiques : une étude géométrique

Le célèbre théorème de Birkhoff affirme que l'espace Dₙ des matrices doublement stochastiques d'ordre n est un polytope convexe dont les matrices de permutation constituent les points extrémaux. De cette structure particulière émerge une structure géométrique intéressante que nous explorons en détail dans ce mémoire. Plus précisément, nous explorons quelques propriétés géométriques de Dₙ, vu comme un espace métrique muni de deux différents types de normes, à savoir les p-normes de Schatten et les normes d'opérateurs induites par les normes vectorielles ℓᵖ. En particulier, nous étudions la norme des matrices doublement stochastiques ainsi que le rayon de Tchebychev, les centres de Tchebychev et le diamètre de Dₙ. Ce faisant, de nouvelles connexions avec le célèbre problème d'affectation sont établies. Nous utilisons également les propriétés géométriques de Dₙ établies dans ce mémoire pour améliorer un résultat de Štefan Schwarz sur la convergence de produits infinis de matrices doublement stochastiques.The celebrated Birkhoff theorem states that the space of n × n doubly stochastic matrices Dₙ is a convex polytope whose extreme points are the permutation matrices. From this particular structure emerges an interesting geometric structure that we explore in detail in this dissertation. Specifically, we explore some geometric properties of Dₙ, seen as a metric space equipped with two different type of norms, which are the Schatten p-norms and the operator norms induced by the ℓᵖ vector norms. In particular, we study the norm of the doubly stochastic matrices along with the Chebyshev radius, the Chebyshev centers and the diameter of Dₙ. In doing so, new connections with the well-known assignment problem are made. We also use the geometric properties of Dₙ established in this dissertation to improve a result of Štefan Schwarz about the convergence of infinite product of doubly stochastic matrices