Differentially flat nonlinear control systems

Differentially flat systems are underdetermined systems of (nonlinear) ordinary differential equations (ODEs) whose solution curves are in smooth one-one correspondence with arbitrary curves in a space whose dimension equals the number of equations by which the system is underdetermined. For control systems this is the same as the number of inputs. The components of the map from the system space to the smaller dimensional space are referred to as the flat outputs. Flatness allows one to systematically generate feasible trajectories in a relatively simple way. Typically the flat outputs may depend on the original independent and dependent variables in terms of which the ODEs are written as well as finitely many derivatives of the dependent variables. Flatness of systems underdetermined by one equation is completely characterised by Elie Cartan's work. But for general underdetermined systems no complete characterisation of flatness exists. In this dissertation we describe two different geometric frameworks for studying flatness and provide constructive methods for deciding the flatness of certain classes of nonlinear systems and for finding these flat outputs if they exist. We first introduce the concept of "absolute equivalence" due to Cartan and define flatness in this frame work. We provide a method of testing for the flatness of systems, which involves making a guess for all but one of the flat outputs after which the problem is reduced to the case solved by Cartan. Secondly we present an alternative geometric approach to flatness which uses "jet bundles" and present a theorem which partially characterises flat outputs that depend only on the original variables but not on their derivatives, for the case of systems described by two independent one-forms in arbitrary number of variables. Finally, for the class of Lagrangian mechanical systems whose number of control inputs is one less than the number of degrees of freedom, we provide a characterisation of flat outputs that depend only on the configuration variables, but not on their derivatives. This characterisation makes use of the Riemannian metric provided by the kinetic energy of the system

The Role of Symmetry in Constructing Geometric Flat Outputs for Free-Flying Robotic Systems

Mechanical systems naturally evolve on principal bundles describing their inherent symmetries. The ensuing factorization of the configuration manifold into a symmetry group and an internal shape space has provided deep insights into the locomotion of many robotic and biological systems. On the other hand, the property of differential flatness has enabled efficient, effective planning and control algorithms for various robotic systems. Yet, a practical means of finding a flat output for an arbitrary robotic system remains an open question. In this work, we demonstrate surprising new connections between these two domains, for the first time employing symmetry directly to construct a flat output. We provide sufficient conditions for the existence of a trivialization of the bundle in which the group variables themselves are a flat output. We call this a geometric flat output, since it is equivariant (i.e. maintains the symmetry) and is often global or almost-global, properties not typically enjoyed by other flat outputs. In such a trivialization, the motion planning problem is easily solved, since a given trajectory for the group variables will fully determine the trajectory for the shape variables that exactly achieves this motion. We provide a partial catalog of robotic systems with geometric flat outputs and worked examples for the planar rocket, planar aerial manipulator, and quadrotor.Comment: Preprint, to appear in the proceedings of the 2023 IEEE International Conference on Robotics and Automation (ICRA). Companion video available at https://youtu.be/oMvF86MXTyY. This version updated with minor expository improvement

Numerical methods for the inverse dynamics simulation of underactuated mechanical systems

The present work deals with the inverse dynamics simulation of underactuated multibody systems. In particular, the study focuses on solving trajectory tracking control problems of differentially flat underactuated systems. The use of servo constraints provides an approach to formulate trajectory tracking control problems of underacutated systems, which are also called underactuated servo constraint problems

Numerical methods for the inverse dynamics simulation of underactuated mechanical systems

In der vorliegenden Dissertation wird die Simulation der inversen Dynamik unteraktuierter Mehrkörpersysteme behandelt. Insbesondere werden Steuerungsprobleme der Bahnverfolgung für differentiell flache unteraktuierte Systeme untersucht. Mit Hilfe von Servobindungen werden die Steuerungsprobleme der Bahnverfolgung für unteraktuierte Systeme formuliert. Die betrachteten Probleme werden unteraktuierte Servobindungsprobleme genannt. Minimalkoordinaten, abhängige oder redundante Koordinaten werden zur Formulierung unteraktuierter Servobindungsprobleme verwendet. Die Formulierung ergibt differential-algebraische Gleichungen mit hohem Index. Die diskrete Nullraum-Methode ermöglicht den Übergang von redundanten Koordinaten zu Minimalkoordinaten. Da die numerische Lösung der differential-algebraischen Gleichungen mit hohem Index anspruchsvoll ist und die flachheitsbasierte analytische Lösung für komplizierte unteraktuierte Systeme nicht praktikabel ist, werden Methoden zur Indexreduktion vor der direkten Zeitdiskretisierung eingesetzt. Eine spezielle Projektionsmethode wird angewendet, um den Index von fünf auf drei zu reduzieren. Die Methode erfordert die Berechnung von Projektionsmatrizen, die in der redundanten Koordinaten Formulierung konstant und in der Minimalkoordinaten Formulierung zeitabhängig sind. Eine neue Methode, Indexreduktion durch minimale Erweiterung genannt, wird in dieser Dissertation entwickelt und für Servobindungsprobleme unteraktuierter Systeme verwendet. Die beiden Methoden werden auf repräsentative numerische Beispiele angewandt. Insbesondere wird schon gezeigt, dass sich die neu entwickelte Indexreduktionsmethode zur Lösung involvierter Probleme eignet, die bislang mit der Projektionsmethode nicht gelöst werden konnten

A Linear Active Disturbance Rejection Control for a Ball and Rigid Triangle System

This paper proposes an application of linear flatness control along with active disturbance rejection control (ADRC) for the local stabilization and trajectory tracking problems in the underactuated ball and rigid triangle system. To this end, an observer-based linear controller of the ADRC type is designed based on the flat tangent linearization of the system around its corresponding unstable equilibrium rest position. It was accomplished through two decoupled linear extended observers and a single linear output feedback controller, with disturbance cancelation features. The controller guarantees locally exponentially asymptotic stability for the stabilization problem and practical local stability in the solution of the tracking error. An advantage of combining the flatness and the ADRC methods is that it possible to perform online estimates and cancels the undesirable effects of the higher-order nonlinearities discarded by the linearization approximation. Simulation indicates that the proposed controller behaves remarkably well, having an acceptable domain of attraction

A Partially Randomized Approach to Trajectory Planning and Optimization for Mobile Robots with Flat Dynamics

Motion planning problems are characterized by huge search spaces and complex obstacle structures with no concise mathematical expression. The fixed-wing airplane application considered in this thesis adds differential constraints and point-wise bounds, i. e. an infinite number of equality and inequality constraints. An optimal trajectory planning approach is presented, based on the randomized Rapidly-exploring Random Trees framework (RRT*). The local planner relies on differential flatness of the equations of motion to obtain tree branch candidates that automatically satisfy the differential constraints. Flat output trajectories, in this case equivalent to the airplane's flight path, are designed using Bézier curves. Segment feasibility in terms of point-wise inequality constraints is tested by an indicator integral, which is evaluated alongside the segment cost functional. Although the RRT* guarantees optimality in the limit of infinite planning time, it is argued by intuition and experimentation that convergence is not approached at a practically useful rate. Therefore, the randomized planner is augmented by a deterministic variational optimization technique. To this end, the optimal planning task is formulated as a semi-infinite optimization problem, using the intermediate result of the RRT(*) as an initial guess. The proposed optimization algorithm follows the feasible flavor of the primal-dual interior point paradigm. Discretization of functional (infinite) constraints is deferred to the linear subproblems, where it is realized implicitly by numeric quadrature. An inherent numerical ill-conditioning of the method is circumvented by a reduction-like approach, which tracks active constraint locations by introducing new problem variables. Obstacle avoidance is achieved by extending the line search procedure and dynamically adding obstacle-awareness constraints to the problem formulation. Experimental evaluation confirms that the hybrid approach is practically feasible and does indeed outperform RRT*'s built-in optimization mechanism, but the computational burden is still significant.Bewegungsplanungsaufgaben sind typischerweise gekennzeichnet durch umfangreiche Suchräume, deren vollständige Exploration nicht praktikabel ist, sowie durch unstrukturierte Hindernisse, für die nur selten eine geschlossene mathematische Beschreibung existiert. Bei der in dieser Arbeit betrachteten Anwendung auf Flächenflugzeuge kommen differentielle Randbedingungen und beschränkte Systemgrößen erschwerend hinzu. Der vorgestellte Ansatz zur optimalen Trajektorienplanung basiert auf dem Rapidly-exploring Random Trees-Algorithmus (RRT*), welcher die Suchraumkomplexität durch Randomisierung beherrschbar macht. Der spezifische Beitrag ist eine Realisierung des lokalen Planers zur Generierung der Äste des Suchbaums. Dieser erfordert ein flaches Bewegungsmodell, sodass differentielle Randbedingungen automatisch erfüllt sind. Die Trajektorien des flachen Ausgangs, welche im betrachteten Beispiel der Flugbahn entsprechen, werden mittels Bézier-Kurven entworfen. Die Einhaltung der Ungleichungsnebenbedingungen wird durch ein Indikator-Integral überprüft, welches sich mit wenig Zusatzaufwand parallel zum Kostenfunktional berechnen lässt. Zwar konvergiert der RRT*-Algorithmus (im probabilistischen Sinne) zu einer optimalen Lösung, jedoch ist die Konvergenzrate aus praktischer Sicht unbrauchbar langsam. Es ist daher naheliegend, den Planer durch ein gradientenbasiertes lokales Optimierungsverfahren mit besseren Konvergenzeigenschaften zu unterstützen. Hierzu wird die aktuelle Zwischenlösung des Planers als Initialschätzung für ein kompatibles semi-infinites Optimierungsproblem verwendet. Der vorgeschlagene Optimierungsalgorithmus erweitert das verbreitete innere-Punkte-Konzept (primal dual interior point method) auf semi-infinite Probleme. Eine explizite Diskretisierung der funktionalen Ungleichungsnebenbedingungen ist nicht erforderlich, denn diese erfolgt implizit durch eine numerische Integralauswertung im Rahmen der linearen Teilprobleme. Da die Methode an Stellen aktiver Nebenbedingungen nicht wohldefiniert ist, kommt zusätzlich eine Variante des Reduktions-Ansatzes zum Einsatz, bei welcher der Vektor der Optimierungsvariablen um die (endliche) Menge der aktiven Indizes erweitert wird. Weiterhin wurde eine Kollisionsvermeidung integriert, die in den Teilschritt der Liniensuche eingreift und die Problemformulierung dynamisch um Randbedingungen zur lokalen Berücksichtigung von Hindernissen erweitert. Experimentelle Untersuchungen bestätigen, dass die Ergebnisse des hybriden Ansatzes aus RRT(*) und numerischem Optimierungsverfahren der klassischen RRT*-basierten Trajektorienoptimierung überlegen sind. Der erforderliche Rechenaufwand ist zwar beträchtlich, aber unter realistischen Bedingungen praktisch beherrschbar