О специальных свойствах некоторых квазиметрик

In this paper we consider some questions of the theory and practice of mean first passage time quasi-metric, a generalized metric structure closely related to ergodic homogeneous Markov chains.The introduction considers the history of the problem and provides an overview of the main ideas and results presented in the article.The first section gives the basic concepts of the theory of Markov chains.In fact, a Markov chain is a mathematical model of some random process describing a sequence of possible events in which the probability of each event depends only on the state attained in the previous event.The second section collects the basic definitions needed to consider the role of graph modelsin the presentation and study of ergodic homogeneous Markov chains.The Markov chain can be depicted as an oriented weighted graph of transitions whose verticescorrespond to the states of the chain and the arcs correspond to the transitions between them.The process will be ergodic if this weighted oriented graph is weakly connected, and the largest common divisor of the lengths of all its cycles is equal to 1.On the other hand, any connected graph can be used as a basis for building a model of the simplest Markov chain: if a vertex $i$ hasdegree $k$, all incident edges are converted into arcs with the weights $\frac{1}{k}$.In the third section the definition of the mean first passage time for an ergodic homogeneous Markov chain is given. There are several ways to build the corresponding matrix. The algorithm of finding the mean first passage time is analyzed in detail by using converging trees of the oriented graph, related to the transition matrix of the ergodic homogeneous Markov chain. Related recurrent procedure is described.In the fourth section, a mean first passage time is analyzed as the quasi-metric $m$of mean first passage time on the vertices $V =\{1, 2,..., n\}$ of the oriented graph corresponding to the transition matrix of a given ergodic homogeneous Markov chain: $m(i, j)$is the expected number of steps (arcs) for random wandering on the oriented graph $\Gamma$, starting at $i$, to reach $j$ for the first time.In particular, the quasi-metric of mean first passage time for the simple random walking on a connected unweighted graph $G$, in which there is an equal probability of moving from any vertex to any adjacent vertex,is a  weighted quasi-metric, i.e., there exists a weight function $w: V\rightarrow\mathbb {R}_ {\ge 0}$,%$w=(w_1, w_2,\ldots, w_n)$,such that$m(i,j) + w_i=m(j,i)+ w_j$for all $i, j\in V$. We consider also some connections of the mean first passage time quasi-metric to other metric structures on graphs (in particular to $\alpha$-metric forest and its relatives), which are less studied, but not less interesting.Finally, the fifth section deals with examples of the construction of mean first passage time quasi-metrics. In addition to illustrating the ''graphical`` procedure of building the matrix $M$, recurrent research algorithms are presented and the resulting generalized metric structures are analyzed.В статье рассмотрены свойства квазиметрики среднего времени первого прохода - обобщенной метрической структуры, тесно связанной с эргодическими однородными цепями Маркова.Во введении представлена история вопроса, дан обзор основных идей и результатов работы.В первом разделе собраны основные понятия теориицепей Маркова - последовательностей случайных событий с конечным или счетным числом исходов, характеризующихся тем, что, говоря нестрого, при фиксированномнастоящем будущее независимо от прошлого. Точнее, математическая модель некоторого случайного процесса представляет собой марковскую цепь, если распределение вероятностей параметров процесса в следующий момент времени зависиттолько от параметров процесса в предыдущий момент.Во втором разделе собраны базовые определения, необходимые для рассмотрения роли графовых моделейв представлении и исследовании эргодических однородных цепей Маркова.Марковская цепь может быть изображена в виде ориентированного взвешенного графа переходов, вершины которого соответствуют состояниям цепи, а дуги - переходам между ними.Процесс будет эргодическим, если построенный взвешенный орграф является слабо связным, и наибольший общий делитель длин всех его циклов равен единице.С другой стороны, любой связный граф может служить базой для построения модели простейшей цепи Маркова: если вершина $i$ имеетстепень $k$, то все выходящие из нее ребра превращаются в дуги с весами $\frac{1}{k}$.%Основное место занимают понятия, связанные с теорией остовного леса сходящихся деревьев ориентированного %графа, соответствующего матрице перехода однородной эргодической цепи Маркова.В третьем разделе дано определение среднего времени первого прохода для однородной эргодической цепи Маркова. Представлены несколько способов построения соответствующей матрицы $M$. Подробно проанализирован алгоритм нахождения среднего времени первого прохода с помощью использования сходящихся деревьев ориентированного графа, связанного с матрицей перехода эргодической однородной цепи Маркова. Описана родственная рекуррентная процедура.В четвертом разделе матрица среднего времени первого прохода рассмотрена как {\it квазиметрика } $m$среднего времени первого прохода на множестве вершин $V=\{1, 2, ..., n\}$ ориентированного графа, соответствующего матрице перехода эргодической однородной цепи Маркова: $m(i,j)$ - ожидаемое количество шагов (дуг) для случайного блуждания на орграфе $\Gamma$, начинающегося с $i$, для достижения $j$ в первый раз. Эта квазиметрика обладает рядом важных теоретических и прикладных свойств.В частности, квазиметрика среднего времени первого прохода для простого случайного блуждания по связному невзвешенному графу $G$, в котором из любой вершины графа существует равная вероятность перемещения в любую соседнюю вершину,является взвешиваемой квазиметрикой, т.е. существует весовая функция $w: V\rightarrow\mathbb{R}_{\ge 0}$,%$w=(w_1, w_2,\ldots, w_n)$,такая, что для всех $i,j\in V$ имеет место сотношение %& Было бы здорово найти для $m_i$ наглядную интерпретацию.$m(i,j)+w_i=m(j,i)+w_j.$Менее изучены, но не менее интересны связи квазиметрики среднего времени первого прохода с другими метрическими структурами на графах, в частности, с $\alpha$-метрикой леса и ее вариациями.Наконец, в пятом разделе рассмотрены примеры построения и исследования квазиметрики среднего времени первого прохода. Помимо иллюстрации ''графовой`` процедуры построения матрицы $M$, представлены рекуррентные алгоритмы исследования и проанализированы получающиеся при этом обобщенные метрические структуры

CONES OF PARTIAL METRICS

A partial semimetric on a set X is a function (x, y) ↦