Efficient variants of the CMRH method for solving a sequence of multi-shifted non-Hermitian linear systems simultaneously

Multi-shifted linear systems with non-Hermitian coefficient matrices arise in numerical solutions of time-dependent partial/fractional differential equations (PDEs/FDEs), in control theory, PageRank problems, and other research fields. We derive efficient variants of the restarted Changing Minimal Residual method based on the cost-effective Hessenberg procedure (CMRH) for this problem class. Then, we introduce a flexible variant of the algorithm that allows to use variable preconditioning at each iteration to further accelerate the convergence of shifted CMRH. We analyse the performance of the new class of methods in the numerical solution of PDEs and FDEs, also against other multi-shifted Krylov subspace methods.Comment: Techn. Rep., Univ. of Groningen, 34 pages. 11 Tables, 2 Figs. This manuscript was submitted to a journal at 20 Jun. 2016. Updated version-1: 31 pages, 10 tables, 2 figs. The manuscript was resubmitted to the journal at 9 Jun. 2018. Updated version-2: 29 pages, 10 tables, 2 figs. Make it concise. Updated version-3: 27 pages, 10 tables, 2 figs. Updated version-4: 28 pages, 10 tables, 2 fig

Preconditioning for linear systems arising from discretization of the Navier-Stokes equations using isogeometric analysis

Tato práce se zabývá iteračním řešením sedlobodových soustav lineárních algebraických rovnic získaných diskretizací Navierových--Stokesových rovnic pro nestlačitelné proudění pomocí isogemetrické analýzy (IgA). Konkrétně se zaměřuje na předpodmiňovače pro krylovovské metody. Jedním z cílů práce je prozkoumat efektivitu moderních blokových předpodmiňovačů pro různé isogeometrické diskretizace, tj. pro B-spline bázové funkce různého stupně a spojitosti, a poskytnout přehled o jejich chování v závislosti na různých parametrech úlohy. Hlavním cílem je na základě této studie navrhnout vhodný přístup k řešení těchto soustav s případnými úpravami, které by zlepšily vlastnosti dané metody pro soustavy získané isogeometrickou analýzou. Práce má dvě části. V první části jsou představeny úlohy pro nestlačitelné vazké proudění a metoda diskretizace pomocí isogeometrické analýzy. Dále uvádíme podrobný přehled metod řešení sedlobodových soustav lineárních rovnic, ve kterém se zaměřujeme především na blokové předpodmiňovače. Druhá část je věnována numerickým experimentům. Provádíme srovnání vybraných předpodmiňovačů pro několik stacionárních a nestacionarních úloh ve dvou a třech dimenzích. Zvláštní pozornost je věnována aproximaci matice hmotnosti, jejíž volba se ukazuje být v kontextu IgA důležitá, a okrajovým podmínkám pro PCD předpodmiňovač. Navrhujeme vhodnou kombinaci varianty PCD, okrajových podmínek a jejich škálování, abychom získali efektivní předpodmiňovač, který je robustní vzhledem k stupni a spojitosti diskretizace. V mnoha případech se tato volba ukazuje jako nejefektivnější z uvažovaných metod.ObhájenoThis doctoral thesis deals with iterative solution of the saddle-point linear systems obtained from discretization of the incompressible Navier--Stokes equations using the isogeometric analysis (IgA) approach. Specifically, it is focused on preconditioners for Krylov subspace methods. One of the goals of the thesis is to investigate the performance of the state-of-the-art block preconditioners for various IgA discretizations, i.e., for B-spline discretization bases of varying polynomial degree and interelement continuity, and provide an overview of their behavior depending on different problem parameters. The main goal is, based on the this study, to propose suitable solution approach to the considered linear systems with possible modifications that would improve the performance for IgA discretizations in particular. The thesis is basically divided into two parts. In the first part we introduce the mathematical model of incompressible viscous flow and the isogeometric analysis discretization method. Then we provide a detailed overview of the solution techniques for saddle-point linear systems, especially aimed at the family of block preconditioners. The second part is devoted to numerical experiments. We present a comparison of the selected preconditioners for several steady-state and time-dependent test problems in two and three dimensions. A particular attention is devoted to mass matrix approximation within the preconditioners, which appears to be important in the context of IgA, and to the boundary conditions for the pressure convection--diffusion (PCD) preconditioner. A suitable combination of PCD variant, boundary conditions and their appropriate scaling is proposed, leading to an effective preconditioner which is robust with respect to the discretization degree and continuity. In many cases, this choice of preconditioner proves to be the most efficient among all considered methods

Fast iterative solvers for Cahn-Hilliard problems

Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg, Fakultät für Mathematik, Dissertation, 2016von M. Sc. Jessica BoschLiteraturverzeichnis: Seite [247]-25