Overview of Constrained PARAFAC Models

In this paper, we present an overview of constrained PARAFAC models where the constraints model linear dependencies among columns of the factor matrices of the tensor decomposition, or alternatively, the pattern of interactions between different modes of the tensor which are captured by the equivalent core tensor. Some tensor prerequisites with a particular emphasis on mode combination using Kronecker products of canonical vectors that makes easier matricization operations, are first introduced. This Kronecker product based approach is also formulated in terms of the index notation, which provides an original and concise formalism for both matricizing tensors and writing tensor models. Then, after a brief reminder of PARAFAC and Tucker models, two families of constrained tensor models, the co-called PARALIND/CONFAC and PARATUCK models, are described in a unified framework, for $N^{th}$ order tensors. New tensor models, called nested Tucker models and block PARALIND/CONFAC models, are also introduced. A link between PARATUCK models and constrained PARAFAC models is then established. Finally, new uniqueness properties of PARATUCK models are deduced from sufficient conditions for essential uniqueness of their associated constrained PARAFAC models

Constrained tensor models - Applications to MIMO wireless communication systems

Conférence invitéeNational audienceAu cours de la dernière décennie, les modèles tensoriels du type CP, appelés aussi décompositions PARAFAC, ont fait l’objet de très nombreuses applications en traitement du signal et de l’image. Depuis les travaux de pionnier de Sidiropoulos, Giannakis et Bro, en 2000 [1], les communications numériques constituent un domaine d’application privilégié des outils tensoriels. Cet exposé a pour objectif de montrer comment la conception de différents systèmes de communication MIMO a abouti au développement de nouveaux modèles tensoriels avec contraintes. Dans une première partie, différents modèles tensoriels seront présentés de façon unifiée, i.e. les modèles de types Tucker, PARALIND/CONFAC et PARATUCK [2]. Puis, dans une deuxième partie, nous décrirons quatre exemples de systèmes MIMO conduisant à de nouveaux modèles tensoriels contraints pour les tenseurs de signaux reçus: Systèmes CDMA/TST avec codage spatio/temporel tensoriel et allocation de ressources [3]; Systèmes OFDM/STF avec codage/étalement spatio/temporel/fréquentiel et allocation de ressources [4]; Systèmes NL-CDMA avec codage non linéaire [5]; Systèmes coopératifs avec antennes relais et codage spatio/temporel à la source [6].Nous montrerons comment ces modèles tensoriels permettent d’estimer de façon conjointe et semi-aveugle les symboles transmis et les canaux de communication. Des résultats de simulations seront présentés pour illustrer les performances de ces systèmes de communication.[1] SIDIROPOULOS N., GIANNAKIS G., BRO R. (2000), "Blind PARAFAC receivers for DS-CDMA systems" IEEE Transactions on Signal Processing, 48 (3): 810-822, March 2000.[2] FAVIER G., de ALMEIDA A., "Constrained tensor models with applications to MIMO communication systems", to be published.[3] FAVIER G., da COSTA M., de ALMEIDA A., ROMANO J.M., "Tensor space−time (TST) coding for MIMO wireless communication systems" Signal Processing, Elsevier, 92:1079−1092, April 2012.[4] de ALMEIDA, FAVIER G., XIMENES L. (2013), "Space-time-frequency (STF) MIMO communication systems with blind receiver based on a generalized PARATUCK2 model" IEEE Transactions on Signal Processing, Accepted for publication.[5] FAVIER G., BOUILLOC T., de ALMEIDA A. (2012) "Blind constrained block−Tucker2 receiver for multiuser SIMO NL−CDMA communication systems", Signal Processing, Elsevier, 92 (7):1624−1636, July 2012.[6] XIMENES L., FAVIER G., de ALMEIDA A., SILVA Y. "PARAFAC-PARATUCK based blind receivers for dual-hop cooperative MIMO relay systems", to be published