Ein einparametrischer Zugang zur Lösung von Vektoroptimierungsproblemen in halbgeordneten endlichdimensionalen Räumen

Im Mittelpunkt unserer Untersuchungen steht das mehrkriterielle Optimierungsproblem, in einer beliebigen nichtleeren Menge eines halbgeordneten endlich dimensionalen Raumes. Zu dessen Lösung betrachten wir ein Dialogverfahren, in dem der Entscheidungsträger in jedem Schritt seine Wünsche äußert. Bei der Bestimmung einer Lösung, die den Entscheidungsträger zufriedenstellt, müssen wir ein im Allgemeinen nichtkonvexes und nicht triviales skalares Optimierungsproblem lösen. Zur Lösung dieses Problems haben wir zwei Klassen einparametrischer Optimierungsprobleme (Einbettungen) konstruiert. Mit Hilfe der Projektion auf den konvexen Ordungskegel haben wir gezeigt, dass diese Einbettungen wohldefiniert sind. Im Gegensatz zu der in der Literatur untersuchten Standardeinbettung, sind die in dieser Arbeit betrachteten Einbettungen durch die Skalarisierungen der Vektoroptimierungsprobleme mittels streng monotoner skalarisierender Funktionen motiviert. Diese Untersuchung wird unter dem Gesichtspunkt der Theorie der einparametrischen Optimierungsprobleme für den Fall eines beliebigen spitzen polyedrischen Ordnungskegels durchgeführt. Sie umfasst z.B. Fragestellungen nach der Art der Singularitäten, die für die verschiedenen Einbettungen auftreten können, nach den Bedingungen, unter denen eine Zusammenhangskomponente in der Menge stationärer oder verallgemeinerter kritischer Punkte mit Hilfe von Kurvenverfolgungsmethoden numerisch beschrieben werden kann und nach den hinreichenden Bedingungen für die Existenz einer Lösungskurve. Anschließend haben wir das von Guddat und Jongen eingeführte Konzept der strukturellen Stabilität eines skalaren Optimierungsproblems in der Vektoroptimierung verallgemeinert und einen Zusammenhang zur strukturellen Stabilität eines Minimaxproblems erstellt. Dieses Minimaxproblem steht in starker Beziehung zur Skalarisierungsmethode der Vektoroptimierungsprobleme.In this work we consider the multiobjective optimization in a subset of a partially orded finite dimensional space. In order to solve this problem we use a dialogue procedure in which the decision maker has to determine in each step the aspiration and reservation level expressing his wishes (goals). This leads to an optimization problem which is not easy to solve in the nonconvex case. We solve it proposing two classes of one-parametric optimization problems (embeddings). Using the projection in the ordering cone, we show that these embeddings are well defined, i.e. the corresponding constraint sets depending on real-valued parameters are not empty. Contrary to the very known standard embedding the proposed embeddings are motivated by the use of strongly monotonically increasing functions, which play an important role by the scalarization of multiobjective optimization problems. The two classes of embeddings are investigated from the point of view of parametric optimization considering a pointed polyhedral cone. This investigation includes the determination of the kind of singularities which can appear, the conditions under which a connected component in the set of stationary or generalized critical point can be numerically described using pathfollowing methods and a solution curve may exist. Finally, we extend the concept of structural stability by Guddat and Jongen to the multiobjective optimization problems and establish a connection to the problem of Minimax type, which is related to the scalarization of multiobjective optimization problems

Zur Theorie künstlicher neuronaler Netze

Zur Theorie künstlicher neuronaler Netze wird aus vier Gebieten beigetragen: der Informatik mit einem neuen Lernverfahren (stabile Parameteradaption), der Mathematik mit der Analyse der Struktur des Gewichtungsraums, der Statistik mit einem neuen Schätzer für die Güte von Netzen (Clustered bootstrap) und der Physik mit effizienten Lern- und Schliesalgorithmen für dezimierbare Boltzmann-Maschinen. Es werden Abbildungsnetze definiert, deren Kettenregel abgeleitet und in mehrere berechtigte algorithmische Varianten gefast, Backpropagation-Netze definiert, der Backpropagation-Algorithmus in einer möglichst allgemeinen Fassung dargestellt und demonstriert, wie dieser Rahmen auch auf rekurrente Netze angewendet werden kann. Die Grenzen der Methode des Gradientenabstiegs werden aufgezeigt und bekannte alternative Verfahren kritisch dargestellt. Ausgehend davon wird unter den Gesichts- punkten Effizienz und Stabilität eine Klasse neuer miteinander verwandter Optimierungsalgorithmen entwickelt, deren theoretische Leistungsfähigkeit von einem Beweis der Konvergenz erster Ordnung abgesichert wird. Es ist möglich, Zweite-Ordnung-Information in das neue Verfahren einfliesen zu lassen. Empirische Vergleiche unter- mauern dessen Effizienz. Die Grenzen von Optimierungsverfahren werden diskutiert. Danach wird Lernen in neuronalen Netzen als statistisches Schätzproblem aufgefast. Die Güte der Schätzung kann mit bekannten statistischen Verfahren berechnet wer- den. Es wird nachgewiesen, das durch Unzulänglichkeiten neuronalen Lernens die Angaben zur Güte nicht robust oder zu ungenau sind. Das Bestreben, diese Unzulänglichkeiten herauszufiltern, führt auf eine neue theoretische Sichtweise des Gewichtungsraums. Er mus in natürlicher Weise als Mannigfaltigkeit verstanden werden. Es zeigt sich, das die Berechnung der kanonischen Metrik im Gewichtungsraum NP-hart ist. Zugleich wird nachgewiesen, das eine effiziente Approximation der Metrik möglich ist. Damit ist es möglich, Lernergebnisse im Gewichtungsraum zu clustern und zu visualisieren. Als eine weitere Anwendung dieser Theorie wird ein robustes Verfahren der Modellauswahl vorgestellt und an einem Beispiel vorgeführt. Schlieslich kann auch das im vorigen Absatz gestellte Problem durch ein neues Verfahren gelöst werden. Die physikalisch motivierte Boltzmann-Maschine wird dargestellt, und es wird argumentiert, warum hier das Schliesen NP-hart ist. Dies motiviert eine Beschr¨ankung auf die genügend interessante Klasse der dezimierbaren Boltzmann-Maschinen. Eine neue Dezimierungsregel wird eingef¨uhrt und gezeigt, das es keine weiteren gibt. Dezimierbare Boltzmann-Maschinen werden mit Mitteln der Wahrscheinlichkeitstheorie studiert und effiziente Lernalgorithmen vorgeschlagen. Die Gewichtungsraumstruktur kann auch hier erfolgreich ausgenutzt werden, was eine Anwendung demonstriert

Bibliographie der Veröffentlichungen von Angehörigen der Technischen Hochschule Ilmenau: aus d. Jahren 1977 - 1978

Übersicht: Bibliographie der Veröffentlichungen von Angehörigen der Technischen Hochschule Ilmena

Modellierung und Simulation des effektiven Verhaltens von Grenzflächen in Metalllegierungen

Die vorliegende Arbeit diskutiert die Modellierung und die numerische Simulation von Phasenübergängen bei der Ostwald-Reifung entmischter Metalllegierungen und in magnetischen Formgedächtnis-Materialien. Dabei werden die Phasenübergänge auf der kontinuierlichen Skala mit Methoden der Elastizitätstheorie beschrieben. Der Vergröberungsprozess der Partikelstruktur einer entmischten Metalllegierung lässt sich als Gradientenfluss betrachten. Dabei bewegt sich die Partikelmenge auf der Mannigfaltigkeit aller möglichen Partikelkonfigurationen in der Richtung des steilsten Abstiegs einer Energie, die Grenzflächenenergie und Elastizität beinhaltet, in Bezug auf eine Metrik, die den Diffusionsmechanismus beschreibt. Die Einschränkung dieser Evolution auf die Untermannigfaltigkeit rechteckiger, an den Koordinatenachsen ausgerichteter Partikel, wie sie durch die Anisotropie des Elastizitätstensors bevorzugt werden, ergibt ein reduziertes Modell, dass die Evolution entsprechend geformter Partikel beschreibt. Zur numerischen Simulation beider Modelle wird die Methode der Randelemente verwendet. Die vorkommenden Integraloperatoren werden durch hierarchische Matrizen approximiert, diese Approximation liefert auch ein geeignetes Verfahren zur Vorkonditionierung. Um die Kopplung der Zeitschrittweite an die Seitenlängen des jeweils kleinsten Partikels zu vermeiden, werden um kleine Partikel lokalisierte Zeitschritte durchgeführt. Der Abschirmeffekt erlaubt es dabei, nur kleine Umgebungen der betroffenen Partikel zu betrachten. Auf diese Weise erhält man ein effizientes Verfahren zur Simulation beider Modelle; beim reduzierten Modell ist die Simulation entsprechend größerer Partikelzahlen möglich. Durch Vergleichsrechnungen wird verifiziert, dass das reduzierte Modell viele wesentliche qualitative und quantitative Eigenschaften des vollen Modells abbildet. Magnetische Formgedächtnis-Materialien kann man auf der kontinuierlichen Skala mit einer Kombination aus Elastizitätstheorie und Mikromagnetismus modellieren. Dabei koppelt ein diskreter Phasenparameter die Varianten der elastischen Verzerrung an die magnetische Anisotropie; die Anisotropie bevorzugt eine Magnetisierung in der Richtung, in der sich das Materials gemäß der elastischen Verzerrung zusammenzieht. Dieses Modell lässt sich auf verschiedene Arten mikrostrukturierter Materialien anwenden, es ist sowohl zur Beschreibung zusammengesetzter Materialien mit einer nichtmagnetischen Hintergrundmatrix als auch für polykristalline Strukturen geeignet. Um das effektive Verhalten der Mikrostruktur zu berechnen, werden im Rahmen eines Homogenisierungsansatzes Zellprobleme periodischer Konfigurationen betrachtet. Bei der numerischen Lösung dieser Zellprobleme finden wiederum Randelemente Verwendung, eingebettet in ein Abstiegsverfahren zur Minimierung der Energie. Dadurch wird der Einfluss von Parametern der mikroskopischen Struktur des Materials, wie beispielsweise die Form, Verteilung und Ausrichtung der Partikel oder die Elastizität der Hintergrundmatrix, auf das makroskopische Verhalten, insbesondere die beobachtete Verzerrung und die geleistete Arbeit, quantifiziert.Modeling and Simulation of the Effective Behaviour of Interfaces in Alloys This thesis is concerned with the modeling and the numerical simulation of phase transitions during the Ostwald ripening of metal alloys and in magnetic shape memory materials. The phase transition is modeled on a continuum level with methods of elasticity theory. The coarsening of particles in a metal alloy after spinodal decomposition can be seen as a gradient flow: The set of particles moves on the manifold of all possible particle configurations in the direction of steepest descent of an energy functional containing interface energy and elasticity, with respect to a metric tensor describing the diffusion mechanism. The restriction of this evolution onto the submanifold of rectangular particles aligned to the coordinate axes, as they are preferred by the anisotropy of the elasticity tensor, gives a reduced model that describes the evolution of such particles. The numerical simulation of both models employs the boundary element method. The integral operators occurring are approximated by hierarchical matrices, this approximation also gives an appropriate preconditioner. To avoid the coupling of the time step size to the side length of the smallest particle, one uses localized timesteps close to small particles, where the screening effect makes it possible to restrict to small neighbourhoods of the respective particle. In this way one constructs an efficient method to simulate both models; in the reduced model accordingly the simulation of larger particle ensembles is possible. Comparative computations verify that the reduced model reproduces many important qualitative and quantitative properties of the full model. Magnetic shape memory materials can be modeled on a continuum scale using a combination of elasticity and micromagnetism. Here, a discrete phase parameter couples the variants of the elastic strain to the magnetic anisotropy. The anisotropy prefers a magnetization in the direction of contraction. This model can be applied to the description of several types of microstructured material: composites with a non-magnetic background matrix and polycrystalline structures. To compute the effective behaviour of the micro structure, one considers cell problems in the spirit of homogenization theory. The numerical solution of these cell problems uses again the boundary element method, here embedded in a descent algorithm for energy minimization. Thereby the influence of parameters of the microscopic structure of the material, such as form, distribution and shape of particles or the elasticity of the background matrix, on the macroscopic behaviour, especially the observed strain and the work output, can be quantified

Kombinatorische Ressourcenallokation mit ökonomischen Koordinationsmechanismen

In dieser Arbeit wird sowohl die theoretische Weiterentwicklung als auch die praktische Umsetzung von ökonomischen Koordinationsmechanismen zur Allokation von Ressourcen untersucht. Es werden neue Koordinationsverfahren für die Allokation komplementärer und substitutionaler Ressourcen entwickelt und Wege zu ihrer Realisierung in Agentensystemen aufgezeigt. Dabei werden Fragen der ökonomischen Effizienz, der Anreizkompatibilität und der Effizienz der Informationsbeschaffung untersucht. Darüberhinaus wird die Anwendbarkeit der Verfahren in einem Produktionskontext und die Konsequenz ihres Einsatzes für die Gestaltung von Organisationsstrukturen diskutier

Relaxation refinement for mixed-integer nonlinear programs with applications in engineering

Lösungsstrategien für Gemischt-Ganzzahlige Nichtlineare Programme (MINLPs) basieren häufig auf einer konvexen Relaxierung der zulässigen Menge. Diese Relaxierung wird benutzt um untere Schranken zu ermitteln und um die Qualität lokaler Lösungen zu beurteilen. In dieser Thesis diskutieren wir verschiedene Ansätze um geeignete Relaxierungen zu konstruieren und zu verbessern. Außerdem analysieren wir diese in Hinblick auf Strenge und Qualität der resultierenden unteren Schranken. Dabei betrachten wir sowohl allgemeine MINLPs als auch spezifische Probleme, die sich aus der Anwendung ergeben. Wir entwickeln ein Schnittebenenverfahren für die konvexe Hülle der zulässigen Menge von relativ allgemeinen MINLPs. Es basiert auf der simultanen Betrachtung von Nebenbedingungen und auf einem konvexen Optimierungsproblem. Dieses Separationsproblem ist nicht-differenzierbar und benötigt die konvexe Einhüllende von Linearkombinationen der Nebenbedingungen. Wir analysieren seine Struktur und Glätte ausführlich und diskutieren passende Lösungsansätze. Außerdem entwickeln wir Approximationen der konvexen Einhüllenden und ein ensprechendes approximatives Separationsproblem. Dieses führt zu schwächeren Resultaten aber zu einer höheren Anwendbarkeit. Das obige Schnittebenenverfahren wird außerdem auf eine Menge von Nebenbedingungen angewendet, die aus bivariaten quadratischen Absolutwertfunktionen besteht. Wir präsentieren allgemeine analytische Hilfsmittel und Konzepte und bestimmen die konvexe Einhüllende für diese Funktionen unter gewissen Voraussetzungen. Diese Klasse von Funktionen wird auch bei der Modellierung von Gasnetzwerken verwendet, was es uns erlaubt den Einfluss des Schnittebenenverfahrens auf Probleme aus der Anwendung zu untersuchen. Schließlich betrachten wir noch ein Beispiel eines optimalen Designproblems aus dem Bereich des Chemieingenieurwesens. Für das Modell einer Destillationskolonne bieten wir eine Reformulierung an und beweisen monotones Verhalten von bestimmten Folgen relevanter Variablen. Reformulierung und Monotonie werden benutzt um die Formulierung der zugehörigen zulässigen Menge zu verbessern. Insbesondere entwickeln wir eine problemspezifische Bound-Tightening-Strategie. Unsere Ergebnisse werden an einigen Testinstanzen computergestützt evaluiert.Solution strategies for Mixed-Integer Nonlinear Programs (MINLPs) often rely on a convex relaxation of the feasible set. This relaxation is used to derive lower bounds and to evaluate the quality of local solutions. In this thesis, we discuss different approaches of constructing and improving suitable relaxations. We further analyze these relaxations with respect to tightness and quality of the resulting lower bounds. This is done for general MINLPs as well as for specific problems arising from certain real world applications. We develop a cutting plane method for the convex hull of the feasible set of relatively general MINLPs. It is based on simultaneous considerations of the involved constraints and on solving a convex optimization problem. This underlying separation problem is non-differentiable and requires the convex envelope of linear combinations of the constraint functions. We analyze its structure and smoothness in detail, and discuss suitable solution approaches. Furthermore, we introduce approximation strategies for the convex envelope and discuss the resulting approximate version of the separation problem. This approximate version leads to weaker results but to a greater applicability. The proposed cutting plane approach is further applied to constraint sets consisting of bivariate quadratic absolute value functions. We present general analytic tools and concepts, and derive the convex envelope of the considered functions under certain assumptions. This type of functions also emerges from the modeling of gas networks, which allows us to computationally evaluate the impact of our cutting plane approach on a real world application. Finally, we consider an example of optimal design problems in chemical engineering. For a distillation column model, we introduce a suitable reformulation and prove monotonic behavior of several sequences of relevant variables. Reformulation and monotonicity are used to improve the formulation of the respective feasible set. In particular, we develop a problem specific bound tightening strategy. Our results are computationally evaluated on multiple test instances