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Nouveaux résultats sur les arbres, forêts et forêts linéaires maximum ainsi que sur la distance moyenne dans un graphe.
RÉSUMÉ
Cette thèse s’inscrit dans le domaine de la recherche scientifique assistée par l’ordinateur.
Ce domaine est en pleine expansion depuis quelques années grâce aux récents
développements des systèmes informatiques. En théorie des graphes plusieurs systèmes
ont été développés afin de générer de nouvelles conjectures entre les différents
invariants d’un graphe. Nous citons par exemple les systèmes AutoGraphiX, Graffiti et
GraPHedron.
Après un premier chapitre consacré à l’introduction, nous proposons dans le
deuxième chapitre une revue de littérature sur les théorèmes connus ainsi que les
conjectures qui bornent inférieurement ou supérieurement des invariants de graphe.
Notre intérêt porte essentiellement sur la cardinalité des sous-graphes induits par un
bistable, une forêt, une forêt linéaire et un arbre. Rappelons que ces problèmes sont
NP-complets.
Fajtlowicz a posé, respectivement pendant les années 1986 et 1992, les conjectures
suivantes (générées par Graffiti et listées, parmi plusieurs, dans le document Written
on the Wall): μ(G) ≤ α(G) (WoW 2) et μ(G) ≤ α2(G)/2 (WoW 747). Où μ(G)
dénote la distance moyenne d’un graphe connexe, α(G) le nombre de stabilité et α2(G)
la cardinalité du plus grand sous-graphe biparti induit.
Il est clair que la deuxième conjecture est plus forte que la première, qui a été
prouvée par Chung. Une autre preuve de la première conjecture a été proposée par
Dankelmann, qui a aussi donné une description du graphe G qui maximise la
distance moyenne pour un ordre donné et une valeur de α(G) donnée.----------ABSTRACT
There are many discovery systems in graph theory that have been designed to generate
new conjectures and explore graphs. For instance the systems AutoGraphiX, Graffiti and
GraPHedron.
After the introduction, we present in the second chapter a survey on theorems and
conjectures that give bounds on some graph invariants. We are concerned by the order
of a largest induced subgraph (bipartite, forest, linear forest, tree). We recall that these
problems are NP-hard.
With the help of the Graffiti system, Fajtlowicz conjectured around 1992 [36] that
the average distance between two vertices of a connected graph G is at most half the
maximum order of an induced bipartite subgraph of G, denoted α2(G). We prove in
the third chapter a strengthening of this conjecture by showing that the average distance
between two vertices of a connected graph G is at most half the maximum order of an
induced forest, denoted F(G). It is the main result of this thesis. Finally, we conjecture
that the average distance between two vertices of a connected graph is at most half the
maximum order of an induced linear forest (where a linear forest is a union of paths).
Moreover, we characterize the graphs maximizing the average distance among all graphs
G having a fixed number of vertices and a fixed value of F(G) or α2(G)